Questão 1. A área da regiīo fechada delimitada pelas curvas y=x^{3}, y=2-x e y=0 é igual a:
(a) 6 / 5
(D) 2 / 5
(3 / 4)
(d) 5 / 4
(e) 8 / 5

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada delimitada pelas três curvas y=x^{3}, y=2-x e y=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • As curvas são y=x^{3}, y=2-x e y=0.
  • Queremos a área da região fechada (a região finita cuja fronteira é composta por trechos dessas três curvas).
    Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo concreto: encontrar os pontos de interseção entre as curvas, porque eles vão definir os limites de integração. Vou achar as interseções par a par.
Interseção entre y=x^{3} e y=0: resolver
x^{3}=0
Logo x=0. Ponto: (0,0).
Interseção entre y=2-x e y=0: resolver
2-x=0
Logo x=2. Ponto: (2,0).
Interseção entre y=x^{3} e y=2-x: resolver
x^{3}=2-x.
Colocando tudo num lado:
x^{3}+x-2=0.
Testando raízes simples, x=1 1+1-2=0, então x=1 é raiz. Fazendo a divisão poli­nomial (ou fatoração):
x^{3}+x-2=(x-1)(x^{2}+x+2).
O polinômio x^{2}+x+2 tem discriminante \Delta=1-8=-7<0, então não tem raízes reais. Assim a única interseção real é x=1, ponto (1,1).
Resumo dos pontos de interseção (todos obtidos acima):
(0,0), (1,1) e (2,0).

Passo 3

Agora vamos entender a forma da região fechada: os três pontos formam um “loop” com fronteira composta por:
  • o arco da curva y=x^{3} entre (0,0) e (1,1),
  • o segmento da reta y=2-x entre (1,1) e (2,0),
  • o segmento do eixo y=0 entre (2,0) e (0,0).
Para decidir como montar as integrais precisamos saber, em cada intervalo de x, qual curva é a de cima (maior y) e qual é a de baixo (menor y).
Compare as curvas em cada intervalo:
  • Para 0\le x\le1: x^{3} varia de 0 a 1 e 2-x varia de 2 a 1. Portanto 2-x está acima de x^{3} neste intervalo; y=0 está abaixo de x^{3} (exceto em x=0). Logo, para x\in[0,1] o “fatiamento vertical” da região vai de y=x^{3} (inferior) até y=2-x (superior).
  • Para 1\le x\le2: a reta y=2-x fica entre 1 e 0. A curva y=x^{3} para x>1 já é maior que 1, ou seja, x^{3} fica acima de 2-x e portanto fora da região. O eixo y=0 fica como limite inferior enquanto y=2-x é o limite superior. Assim, para x\in[1,2] a fatiagem vertical vai de y=0 até y=2-x.
Portanto a região é conveniente para calcular pela soma de duas integrais em x: uma de 0 até 1 com integrando (reta menos cúbica), e outra de 1 até 2 com integrando (reta menos zero).

Passo 4

Lembrete didático: fórmula da área entre duas curvas, no eixo x, é
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{função superior} - \text{função inferior}\big)\,dx.Áçãçã
Aqui cada variável significa:
  • a,b são os limites em x do trecho considerado,
  • a função superior é a curva com maior valor de y naquele intervalo,
  • a função inferior é a curva com menor valor de y naquele intervalo.
Aplicando ao nosso caso:
  • Para x\in[0,1]: função superior =2-x, função inferior =x^{3}.
  • Para x\in[1,2]: função superior =2-x, função inferior =0.
Então a área total A é
A=\int_{0}^{1} \big((2-x)-x^{3}\big)\,dx \;+\; \int_{1}^{2} (2-x)\,dx.

Passo 5

Agora calculo a primeira integral com calma, mostrando primitivas e explicando cada passo.
Para \displaystyle \int (2-x-x^{3})\,dx as primitivas termo a termo são:
  • \int 2\,dx = 2x,
  • \int -x\,dx = -\dfrac{x^{2}}{2},
  • \int -x^{3}\,dx = -\dfrac{x^{4}}{4}.
Logo
\int_{0}^{1} \big(2-x-x^{3}\big)\,dx = \Big[2x - \dfrac{x^{2}}{2} - \dfrac{x^{4}}{4}\Big]_{0}^{1}.
Avalio em 1 e em 0:
\Big(2\cdot1 - \dfrac{1^{2}}{2} - \dfrac{1^{4}}{4}\Big) - \Big(0\Big) = 2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}.
Somando vetores de frações:
2 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{4} - \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}.

Passo 6

Agora calculo a segunda integral:
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx.
Uma primitiva de 2-x é 2x-\dfrac{x^{2}}{2}. Assim
\int_{1}^{2} (2-x)\,dx = \Big[2x-\dfrac{x^{2}}{2}\Big]_{1}^{2}.
Avalio:
\big(2\cdot2-\dfrac{2^{2}}{2}\big) - \big(2\cdot1-\dfrac{1^{2}}{2}\big) = \big(4-2\big) - \big(2-\tfrac{1}{2}\big) = 2 - \tfrac{3}{2} = \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Somando as duas contribuições (Passo 5 e Passo 6):
A = \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{7}{4}.
Em decimal, A=1{,}75.
Dica rápida para a prova: uma forma rápida de visualizar é ver que a área total é a área do triângulo formado pela reta y=2-x sobre o eixo x (base 2, altura 2, área =2) menos a área abaixo da cúbica entre 0 e 1 (∫₀¹ x^{3}dx=1/4). Assim 2 - 1/4 = 7/4, mesma resposta com menos passos.

Resposta

\dfrac{7}{4}

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