Questão 1. A área da regiīo fechada delimitada pelas curvas
e
é igual a:
(a)
(D)
(3 / 4)
(d)
(e)
(a)
(D)
(3 / 4)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada delimitada pelas três curvas
,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- As curvas são
, e . - Queremos a área da região fechada (a região finita cuja fronteira é composta por trechos dessas três curvas).
Não vou resolver nada ainda — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro passo concreto: encontrar os pontos de interseção entre as curvas, porque eles vão definir os limites de integração. Vou achar as interseções par a par.
Interseção entre
e
: resolver
Logo
. Ponto:
.
Interseção entre
e
: resolver
Logo
. Ponto:
.
Interseção entre
e
: resolver
Colocando tudo num lado:
Testando raízes simples,
dá
, então
é raiz. Fazendo a divisão polinomial (ou fatoração):
O polinômio
tem discriminante
, então não tem raízes reais. Assim a única interseção real é
, ponto
.
Resumo dos pontos de interseção (todos obtidos acima):
,
e
.
Passo 3
Agora vamos entender a forma da região fechada: os três pontos formam um “loop” com fronteira composta por:
- o arco da curva
entre e , - o segmento da reta
entre e , - o segmento do eixo
entre e .
Para decidir como montar as integrais precisamos saber, em cada intervalo de
, qual curva é a de cima (maior
) e qual é a de baixo (menor
).
Compare as curvas em cada intervalo:
- Para
: varia de a e varia de a . Portanto está acima de neste intervalo; está abaixo de (exceto em ). Logo, para o “fatiamento vertical” da região vai de (inferior) até (superior). - Para
: a reta fica entre e . A curva para já é maior que , ou seja, fica acima de e portanto fora da região. O eixo fica como limite inferior enquanto é o limite superior. Assim, para a fatiagem vertical vai de até .
Portanto a região é conveniente para calcular pela soma de duas integrais em
: uma de
até
com integrando (reta menos cúbica), e outra de
até
com integrando (reta menos zero).
Passo 4
Lembrete didático: fórmula da área entre duas curvas, no eixo
, é
Aqui cada variável significa:
-
são os limites em do trecho considerado, - a função superior é a curva com maior valor de
naquele intervalo, - a função inferior é a curva com menor valor de
naquele intervalo.
Aplicando ao nosso caso:
- Para
: função superior , função inferior . - Para
: função superior , função inferior .
Então a área total
é
Passo 5
Agora calculo a primeira integral com calma, mostrando primitivas e explicando cada passo.
Para
as primitivas termo a termo são:
-
, -
, -
.
Logo
Avalio em
e em
:
Somando vetores de frações:
Passo 6
Agora calculo a segunda integral:
Uma primitiva de
é
. Assim
Avalio:
Passo 7
Somando as duas contribuições (Passo 5 e Passo 6):
Em decimal,
.
Dica rápida para a prova: uma forma rápida de visualizar é ver que a área total é a área do triângulo formado pela reta
sobre o eixo
(base
, altura
, área
) menos a área abaixo da cúbica entre
e
(∫₀¹
). Assim
, mesma resposta com menos passos.