Calcule, caso existam, as derivadas parciais das funções nos pontos indicados.
f(x, y)=raiz|x y| P0(0,0)

Passo 1

O exercício pede para calcular as derivadas parciais de f(x,y)=√|x y| no ponto P₀=(0,0). O conteúdo é derivada parcial, e vamos usar a definição que fixa uma variável e toma limite no incremento da outra.

Passo 2

Para encontrar ∂f/∂x(0,0), fixamos y=0 e usamos a definição de derivada parcial:
A variação de f em x é dada por
f(0+h,0)-f(0,0)h
Como f(0+h,0)=√|h·0|=0 e f(0,0)=0, o quociente fica 0/h=0. Assim,
∂f∂x(0,0)=limhto00h=0

Passo 3

De modo análogo, para ∂f/∂y(0,0) fixamos x=0 e fazemos o mesmo limite:
f(0,0+k)-f(0,0)k=√|0·k|-0k=0,
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∂f∂y(0,0)=0

Resposta

As duas derivadas parciais existem e valem 0, isto é, ∂f/∂x(0,0)=0 e ∂f/∂y(0,0)=0.

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