Um sistema de irrigação simples é formado por uma mangueira que alimenta um aspersor. A mangueira possui diâmetro interno de 2,1 \mathrm{~cm}, e o aspersor apresenta 30 pequenos orifícios, cada um com diâmetro de 0,11 \mathrm{~cm}.
A água escoa dentro da mangueira com velocidade de 0,85 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Supondo escoamento estacionário e ausência de perdas, determine a velocidade de saída da água pelos orifícios do aspersor.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a velocidade de saída da água pelos orifícios do aspersor.
Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
\begin{aligned} &\text{diâmetro interno da mangueira: } d_{\text{m}}=2{,}1\\ \text{cm},\\\ &\text{número de orifícios do aspersor: } N=30,\\\ &\text{diâmetro de cada orifício: } d_{\text{o}}=0{,}11\\ \text{cm},\\\ &\text{velocidade da água na mangueira: } v_{\text{m}}=0{,}85\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{escoamento estacionário e sem perdas (fluxo conservado).} \end{aligned}âúíâíáá

Passo 2

Princípio físico usado (explicação didática): como o escoamento é estacionário e a água é incompressível, a vazão volumétrica é conservada. A vazão volumétrica Q é a quantidade de volume que passa por uma seção por unidade de tempo e é dada por
Q = A\cdot v,
onde \;A\; é a área da seção transversal e \;v\; é a velocidade média do fluido nessa seção. Aqui vou usar:
Q_{\text{mangueira}} = Q_{\text{total orifícios}}.í
Como há N orifícios idênticos,
Q_{\text{total orifícios}} = N\cdot Q_{\text{um orifício}} = N\cdot A_{\text{o}}\cdot v_{\text{o}}.íí
Definições das variáveis:
\begin{aligned} &A_{\text{m}} \text{ = área da seção da mangueira,}\\\ &A_{\text{o}} \text{ = área de um orifício,}\\\ &v_{\text{m}} \text{ = velocidade na mangueira (dada),}\\\ &v_{\text{o}} \text{ = velocidade de saída em cada orifício (incógnita).} \end{aligned}áçãáíííó

Passo 3

Escrevendo a equação de conservação de vazão:
A_{\text{m}}\cdot v_{\text{m}} = N\cdot A_{\text{o}}\cdot v_{\text{o}}.
Isolando v_{\text{o}}:
v_{\text{o}} = \frac{A_{\text{m}}}{N\cdot A_{\text{o}}}\;v_{\text{m}}.
Agora preciso das áreas circulares. A área de um círculo de diâmetro d é
A=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Substituindo A_{\text{m}}=\dfrac{\pi d_{\text{m}}^{2}}{4} e A_{\text{o}}=\dfrac{\pi d_{\text{o}}^{2}}{4} na expressão de v_{\text{o}}, o fator \dfrac{\pi}{4} cancela:
v_{\text{o}} = \frac{d_{\text{m}}^{2}}{N\;d_{\text{o}}^{2}}\;v_{\text{m}}.
Isso é muito conveniente: não preciso calcular \pi.

Passo 4

Converter diâmetros para metros (sempre trabalhar em SI):
\begin{aligned} &d_{\text{m}}=2{,}1\\ \text{cm}=0{,}021\\ \mathrm{m},\\\ &d_{\text{o}}=0{,}11\\ \text{cm}=0{,}0011\\ \mathrm{m}. \end{aligned}

Passo 5

Calcular os quadrados dos diâmetros:
\begin{aligned} &d_{\text{m}}^{2}=(0{,}021)^{2}=0{,}000441\\ \mathrm{m^{2}},\\\ &d_{\text{o}}^{2}=(0{,}0011)^{2}=0{,}00000121\\ \mathrm{m^{2}}. \end{aligned}
Calcular N\cdot d_{\text{o}}^{2}:
N\;d_{\text{o}}^{2}=30\times 0{,}00000121=0{,}0000363\\ \mathrm{m^{2}}.
Agora a razão de áreas:
\frac{d_{\text{m}}^{2}}{N\;d_{\text{o}}^{2}}=\frac{0{,}000441}{0{,}0000363}\approx 12{,}1487603.

Passo 6

Finalmente, calcular v_{\text{o}} usando v_{\text{m}}=0{,}85\\ \mathrm{m/s}:
v_{\text{o}} = 12{,}1487603\times 0{,}85\\ \mathrm{m/s}\approx 10{,}3264463\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma razoável (dados têm cerca de 2–3 algarismos significativos), tomo
v_{\text{o}}\approx 10{,}33\\ \mathrm{m/s}.
Força aí — é bem mais rápido quando se usa a conservação de vazão e a fórmula da área.

Resposta

10{,}33\\ \mathrm{m/s}

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