Sabendo-se que a densidade do UO2 é de aproximadamente 10 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} :
a) Calcule o coeficiente de atenuação mássica de UO 2 para raios gama de 1 MeV .
0,0743 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{g}
b) Qual é o caminho livre médio?
1,35 \mathrm{~cm}
c) Qual deve ser a espessura de UO2 para diminuir a intensidade de um feixe de radiação gama por um fator de 100 ?
6,2 \mathrm{~cm}
d) Se o fluxo de raios gama de 1 MeV é de 3 \times 10^{11} raios gama/ \mathrm{cm}^{2}.s, calcule a energia depositada no UO2
2,23 \times 10^{\wedge} 10 \mathrm{MeV} / \mathrm{g} . \mathrm{s} \text { ou } 3,57 \mathrm{~W} / \mathrm{kg}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Densidade do \mathrm{UO_2}: \rho = 10\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Energia dos raios gama: E_\gamma = 1\\ \mathrm{MeV}.
  • Fluxo de raios gama (parte d): \Phi = 3\times 10^{11}\\ \text{fotons}/\mathrm{cm^2\cdot s}.
As perguntas são:
a) Calcular o coeficiente de atenuação mássica de \mathrm{UO_2} para raios gama de 1\\ \mathrm{MeV}.
b) Calcular o caminho livre médio (mean free path) no \mathrm{UO_2}.
c) Determinar a espessura necessária de \mathrm{UO_2} para reduzir a intensidade por um fator 100.
d) Com o fluxo dado, calcular a energia depositada no \mathrm{UO_2} (dar o resultado em \mathrm{MeV}/\mathrm{g\cdot s} e em \mathrm{W}/\mathrm{kg}).
Observação: para calcular atenuação e deposição de energia usaremos os conceitos padrão de coeficiente de atenuação (linear e mássico) e a lei exponencial de atenuação de fótons.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Coeficiente de atenuação mássica \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right): é a probabilidade efetiva de interação por unidade de massa, com unidades \mathrm{cm^2/g}. Permite comparar materiais independente da densidade. Para um composto, o valor pode ser obtido por soma ponderada pelas frações massicas dos elementos:
\left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\text{composto}}=\sum_i w_i\left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_i,
onde w_i é a fração mássica do i-ésimo elemento no composto e \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_i é o coeficiente mássico desse elemento à energia considerada. As tabelas padrão (por exemplo NIST) fornecem \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right) para cada elemento e energia.
  • Coeficiente de atenuação linear \mu (unidade \mathrm{cm^{-1}}): relaciona-se com o coeficiente mássico por
\mu = \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)\rho,
onde \rho é a densidade ( \mathrm{g/cm^3}).
  • Lei exponencial de atenuação: intensidade transmitida I após atravessar espessura x é
I = I_0 e^{-\mu x}.
Para reduzir a intensidade por um fator f (por exemplo f=100), a espessura necessária é
x = \frac{\ln(f)}{\mu}.
  • Caminho livre médio (mean free path) \lambda: distância média entre interações é o inverso do coeficiente linear:
\lambda = \frac{1}{\mu}.
  • Taxa de energia depositada por unidade de massa (aproximação): se \Phi é o fluxo de fótons por \mathrm{cm^2\cdot s} e cada fóton tem energia E_\gamma (em \mathrm{MeV}), a taxa de energia absorvida por massa (em \mathrm{MeV}/\mathrm{g\cdot s}) pode ser aproximada por
\dot{e} = \Phi\,E_\gamma\left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\text{(energia de interesse)}},
onde usamos \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right) como fator que dá a fração de fótons que depositam energia por unidade de massa (na prática usa-se o coeficiente de energia-absorção mássico \mu_{en}/\rho, mas aqui aproximamos \mu_{en}/\rho\approx\mu/\rho para 1 MeV quando indicado). Para converter \mathrm{MeV}/\mathrm{g\cdot s} em \mathrm{W}/\mathrm{kg} usamos 1\\ \mathrm{MeV}=1{,}602176634\times 10^{-13}\\ \mathrm{J} e 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

(a) Coeficiente de atenuação mássica de \mathrm{UO_2} para 1\\ \mathrm{MeV}.
  • Método: aplicar a regra de mistura (explicada no passo anterior) usando as frações mássicas dos elementos do \mathrm{UO_2}. A massa molar aproximada do \mathrm{UO_2} é:
M_{\mathrm{UO_2}} \approx 238{,}03 + 2\times 16{,}00 = 270{,}03\\ \mathrm{g/mol}.
Fração mássica de urânio:
w_{\mathrm{U}}=\frac{238{,}03}{270{,}03}\approx 0{,}8815.
Fração mássica do oxigênio (os dois oxigênios juntos):
w_{\mathrm{O}}=\frac{32{,}00}{270{,}03}\approx 0{,}1185.
  • Em geral precisamos dos valores \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{U}} e \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{O}} a 1\\ \mathrm{MeV} vindos de tabelas (NIST, etc.). Aplicando a regra de mistura obteríamos o valor de \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{UO_2}}.
  • Resultado (valor tabulado/fornecido pelo enunciado):
\left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{UO_2}} = 0{,}0743\\ \mathrm{cm^2/g}.
(aceitamos esse valor como vindo das tabelas; o procedimento para obtê-lo está descrito acima).

Passo 4

(b) Calcular o caminho livre médio.
  • Primeiro calcule o coeficiente de atenuação linear \mu:
\mu = \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)\rho = 0{,}0743\\ \mathrm{cm^2/g}\times 10\\ \mathrm{g/cm^3} = 0{,}743\\ \mathrm{cm^{-1}}.
  • Caminho livre médio \lambda:
\lambda = \frac{1}{\mu}=\frac{1}{0{,}743}\\ \mathrm{cm}\approx 1{,}345\\ \mathrm{cm}\approx 1{,}35\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

(c) Espessura necessária para reduzir a intensidade por um fator 100.
  • Queremos I/I_0 = 1/100. Usando a lei exponencial:
\frac{I}{I_0}=e^{-\mu x}=\frac{1}{100}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\ln(100)}{\mu}.
  • Calcule:
\ln(100)=\ln(10^2)=2\ln(10)\approx 2\times 2{,}302585093=4{,}605170186.
x=\frac{4{,}605170186}{0{,}743}\\ \mathrm{cm}\approx 6{,}199\\ \mathrm{cm}\approx 6{,}2\\ \mathrm{cm}.

Passo 6

(d) Energia depositada no \mathrm{UO_2} dado o fluxo \Phi = 3\times 10^{11}\\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.
  • Usamos a fórmula aproximada (explicada no passo 2):
\dot{e} = \Phi\,E_\gamma\left(\dfrac{\mu}{\rho}\right).
Substituindo:
\dot{e}=3\times 10^{11}\\ \frac{\text{fótons}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}\times 1\\ \mathrm{MeV}\times 0{,}0743\\ \mathrm{cm^2/g}.ó
  • Cálculo:
\dot{e}=3\times 10^{11}\times 0{,}0743\\ \frac{\mathrm{MeV}}{\mathrm{g\cdot s}}=2{,}229\times 10^{10}\\ \mathrm{MeV/g\cdot s}\approx 2{,}23\times 10^{10}\\ \mathrm{MeV/g\cdot s}.
  • Converter para \mathrm{W/kg}:
1\\ \mathrm{MeV}=1{,}602176634\times 10^{-13}\\ \mathrm{J},
\dot{e}_{\mathrm{(W/kg)}}=\dot{e}\\ (\mathrm{MeV/g\cdot s})\times 1{,}602176634\times 10^{-13}\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{MeV}}\times 10^{3}\\ \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{kg}}.
\dot{e}_{\mathrm{(W/kg)}}=2{,}229\times 10^{10}\times 1{,}602176634\times 10^{-10}\\ \mathrm{W/kg}\approx 3{,}571\\ \mathrm{W/kg}\approx 3{,}57\\ \mathrm{W/kg}.

Resposta

a) \left(\dfrac{\mu}{\rho}\right)_{\mathrm{UO_2}}=0{,}0743\\ \mathrm{cm^2/g}\n
b) \lambda=\;1{,}35\\ \mathrm{cm}\n
c) x=\;6{,}2\\ \mathrm{cm}\n
d) \dot{e}=2{,}23\times 10^{10}\\ \mathrm{MeV/g\cdot s} ou 3{,}57\\ \mathrm{W/kg}

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