Questio 1.
Um sólido úmido, em um processo batelada, cuja taxa de secagem é representada pelos dados abaixo é para ser seco de teor de umidade de
sólido seco. O peso do solido seco
sólido seco e
de superficie de secagem. Calcule o tempo de secagem. Assumir a aproximaçâo de uma funçâo linear da taxa R em relação x passando pela origem do poato Xe até o ponto
para periodo de taxa decrescente.
X
R
0,195
1,51
0,663
0,150
1,21
0,826
0,100
0,90
1,11
0,065
0,71
1,41
0,050
0,37
2,70
0,040
0,27
3,70
| X | R |
|
| 0,195 | 1,51 | 0,663 |
| 0,150 | 1,21 | 0,826 |
| 0,100 | 0,90 | 1,11 |
| 0,065 | 0,71 | 1,41 |
| 0,050 | 0,37 | 2,70 |
| 0,040 | 0,27 | 3,70 |
Passo 1
O enunciado pede para calcular o tempo total de secagem de um lote (processo batelada) usando os dados de taxa de secagem fornecidos e a aproximação indicada. Dados relevantes fornecidos (peguei-os do enunciado e da tabela):
(teor de umidade inicial, em
),
massa do sólido seco ,
área de secagem ,
tabela de taxas (coloquei aqui os pontos relevantes):
massa do sólido seco
área de secagem
tabela de taxas (coloquei aqui os pontos relevantes):
Instrução adicional do enunciado: assumir que a taxa é aproximadamente linear no período de taxa decrescente, com a reta passando por
(ponto de equilíbrio onde
) e pelo ponto
.
Pergunta explícita: calcular o tempo total de secagem (do até
), usando a aproximação indicada.
Pergunta explícita: calcular o tempo total de secagem (do
Passo 2
Estratégia (apenas identificação das etapas, sem cálculo ainda):
- Na secagem por batelada normalmente existe um período de taxa constante até uma umidade crítica
, seguido por um período de taxa decrescente. - Observando a tabela, o maior
registrado é com a maior taxa ; por isso assumimos que a secagem é em taxa constante de até com . (Justificativa prática: acima de a taxa não é dada, então toma-se o valor em como taxa constante.) - Abaixo de
até teremos o período de taxa decrescente. Para esse período usaremos a aproximação linear pedida: , com determinado por extrapolação e ajustado para que . - Fórmula geral que vamos usar para converter taxa em tempo: relacionar
com a variação de umidade e integrar.
Passo 3
Deduzindo a relação diferencial entre
,
e
(aulas rápidas):
- A massa de água presente no sólido é
, onde é a massa do sólido seco e o teor de umidade ( ). - A taxa de secagem
é a massa de água removida por unidade de área e por unidade de tempo. Logo a vazão de água removida é (unidade: ou conforme ). A variação de massa de água é . - Substituindo
: . Rearranjando:
Essa é a fórmula fundamental: para obter tempo, integramos em
dividindo por
.
Passo 4
Cálculo do tempo no período de taxa constante (de
até
):
- Aqui
. Aplicando a fórmula e integrando:
- Substituindo números (mostrando contas detalhadas):
Portanto
(unidades de tempo correspondentes às unidades de
; vamos assumir horas se
estiver em
).
Passo 5
Determinar
(umidade de equilíbrio, onde
) por extrapolação linear usando os pontos finais da tabela: escolhi os dois pontos mais próximos do final porque descrevem melhor a tendência final:
e
.
- Calcula-se a inclinação da reta aproximando
por uma função linear em :
- A equação da reta que passa por
é
- Encontramos
impondo :
Logo
. (Interpretação: abaixo de
a taxa seria negativa, o que não faz sentido físico;
é o limite onde a taxa se torna nula.)
Passo 6
Expressar a reta do período de taxa decrescente no formato
e obter
:
- A partir de
e ,
- Assim a aproximação linear pedida é
Passo 7
Cálculo do tempo no período de taxa decrescente (de
até
):
- Usando
e , a integral é
- Substituindo valores passo a passo:
Portanto
(mesma unidade de tempo usada antes).
Passo 8
Tempo total de secagem e conversão para horas/minutos:
Convertendo para horas e minutos:
, ou seja cerca de
.