Questio 1.

Um sólido úmido, em um processo batelada, cuja taxa de secagem é representada pelos dados abaixo é para ser seco de teor de umidade de X_{1}=0,38 \mathrm{~kg} H_{2} O / \mathrm{kg} sólido seco. O peso do solido seco 6 \mathrm{Ls}=399 \mathrm{~kg} sólido seco e \mathrm{A}=18,58 \mathrm{~m}^{2} de superficie de secagem. Calcule o tempo de secagem. Assumir a aproximaçâo de uma funçâo linear da taxa R em relação x passando pela origem do poato Xe até o ponto \mathrm{X}=0,04 para periodo de taxa decrescente.
X R 1 / \mathrm{R}
0,195 1,51 0,663
0,150 1,21 0,826
0,100 0,90 1,11
0,065 0,71 1,41
0,050 0,37 2,70
0,040 0,27 3,70

Passo 1

O enunciado pede para calcular o tempo total de secagem de um lote (processo batelada) usando os dados de taxa de secagem fornecidos e a aproximação indicada. Dados relevantes fornecidos (peguei-os do enunciado e da tabela):
X_{1}=0,38 (teor de umidade inicial, em \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido\\ seco}ó),
massa do sólido seco W_{s}=399\\ \mathrm{kg},
área de secagem A=18,58\\ \mathrm{m^{2}},
tabela de taxas (coloquei aqui os pontos relevantes):
\begin{array}{cc} X & R\\\\ 0,195 & 1,51\\\\ 0,150 & 1,21\\\\ 0,100 & 0,90\\\\ 0,065 & 0,71\\\\ 0,050 & 0,37\\\\ 0,040 & 0,27 \end{array}
Instrução adicional do enunciado: assumir que a taxa é aproximadamente linear no período de taxa decrescente, com a reta passando por (X_e,0) (ponto de equilíbrio onde R=0) e pelo ponto (0,04,0,27).
Pergunta explícita: calcular o tempo total de secagem (do X=0,38 até X=0,04), usando a aproximação indicada.

Passo 2

Estratégia (apenas identificação das etapas, sem cálculo ainda):
  • Na secagem por batelada normalmente existe um período de taxa constante até uma umidade crítica X_c, seguido por um período de taxa decrescente.
  • Observando a tabela, o maior X registrado é 0,195 com a maior taxa R=1,51; por isso assumimos que a secagem é em taxa constante de X=0,38 até X_c=0,195 com R_{\text{const}}=1,51. (Justificativa prática: acima de 0,195 a taxa não é dada, então toma-se o valor em 0,195 como taxa constante.)
  • Abaixo de X_c=0,195 até X_f=0,04 teremos o período de taxa decrescente. Para esse período usaremos a aproximação linear pedida: R(X)=k\,(X-X_e), com X_e determinado por extrapolação e k ajustado para que R(0,04)=0,27.
  • Fórmula geral que vamos usar para converter taxa em tempo: relacionar R com a variação de umidade e integrar.

Passo 3

Deduzindo a relação diferencial entre R, X e t (aulas rápidas):
  • A massa de água presente no sólido é M=W_{s}\,X, onde W_{s} é a massa do sólido seco e X o teor de umidade ( \mathrm{kg\\ H_{2}O/kg\\ sólido\\ seco}ó).
  • A taxa de secagem R é a massa de água removida por unidade de área e por unidade de tempo. Logo a vazão de água removida é A\,R (unidade: \mathrm{kg/s} ou \mathrm{kg/h} conforme R). A variação de massa de água é -\dfrac{dM}{dt}=A\,R.
  • Substituindo M=W_{s}X: -W_{s}\dfrac{dX}{dt}=A\,R. Rearranjando:
dt=-\frac{W_{s}}{A}\,\frac{dX}{R(X)}.
Essa é a fórmula fundamental: para obter tempo, integramos em X dividindo por R(X).

Passo 4

Cálculo do tempo no período de taxa constante (de X=0,38 até X=0,195):
  • Aqui R(X)=R_{\text{const}}=1,51. Aplicando a fórmula e integrando:
t_{\text{const}}=\frac{W_{s}}{A}\int_{X=0,195}^{X=0,38}\frac{dX}{R_{\text{const}}} =\frac{W_{s}}{A\,R_{\text{const}}}\,(0,38-0,195).
  • Substituindo números (mostrando contas detalhadas):
A\,R_{\text{const}}=18,58\times 1,51=28,0358.
\frac{W_{s}}{A\,R_{\text{const}}}=\frac{399}{28,0358}\approx 14,240.
0,38-0,195=0,185.
t_{\text{const}}=14,240\times 0,185\approx 2,635.
Portanto t_{\text{const}}\approx 2,635 (unidades de tempo correspondentes às unidades de R; vamos assumir horas se R estiver em \mathrm{kg/(m^{2}\,h)}).

Passo 5

Determinar X_e (umidade de equilíbrio, onde R=0) por extrapolação linear usando os pontos finais da tabela: escolhi os dois pontos mais próximos do final porque descrevem melhor a tendência final:
(X,R)=(0,050,0,37) e (0,040,0,27).
  • Calcula-se a inclinação da reta aproximando R por uma função linear em X:
\text{slope}=\frac{0,27-0,37}{0,04-0,05}=\frac{-0,10}{-0,01}=10,0.
  • A equação da reta que passa por (0,04,0,27) é
R(X)=0,27+10,0\,(X-0,04).
  • Encontramos X_e impondo R(X_e)=0:
0=0,27+10,0\,(X_e-0,04)\quad\Rightarrow\quad X_e=0,04-\frac{0,27}{10,0}=0,013.
Logo X_e\approx 0,013. (Interpretação: abaixo de 0,013 a taxa seria negativa, o que não faz sentido físico; X_e é o limite onde a taxa se torna nula.)

Passo 6

Expressar a reta do período de taxa decrescente no formato R(X)=k\,(X-X_e) e obter k:
  • A partir de (0,04,0,27) e X_e=0,013,
k=\frac{R(0,04)}{0,04-X_e}=\frac{0,27}{0,04-0,013}=\frac{0,27}{0,027}=10,0.
  • Assim a aproximação linear pedida é
R(X)=10,0\,(X-0,013).

Passo 7

Cálculo do tempo no período de taxa decrescente (de X=0,195 até X=0,04):
  • Usando dt=-\dfrac{W_{s}}{A}\dfrac{dX}{R(X)} e R(X)=k(X-X_e), a integral é
t_{\text{dec}}=\frac{W_{s}}{A}\int_{0,04}^{0,195}\frac{dX}{k(X-X_e)} =\frac{W_{s}}{A\,k}\ln\left(\frac{0,195-X_e}{0,04-X_e}\right).
  • Substituindo valores passo a passo:
A\,k=18,58\times 10,0=185,8,
\frac{W_{s}}{A\,k}=\frac{399}{185,8}\approx 2,148,
0,195-X_e=0,195-0,013=0,182,
0,04-X_e=0,04-0,013=0,027,
\frac{0,195-X_e}{0,04-X_e}=\frac{0,182}{0,027}\approx 6,7407,
\ln(6,7407)\approx 1,909.
t_{\text{dec}}=2,148\times 1,909\approx 4,100.
Portanto t_{\text{dec}}\approx 4,100 (mesma unidade de tempo usada antes).

Passo 8

Tempo total de secagem e conversão para horas/minutos:
t_{\text{total}}=t_{\text{const}}+t_{\text{dec}}=2,635+4,100=6,735.
Convertendo para horas e minutos: 6,735\\ \text{h}=6\\ \text{h}+0,735\cdot 60\\ \text{min}=6\\ \text{h}+44,1\\ \text{min}, ou seja cerca de 6\\ \text{h}\\\ 44\\ \text{min}.

Resposta

t_{\text{total}}=6,735\\ \text{h} (aprox. 6\\ \text{h}\\\ 44\\ \text{min}).

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