Um alimento contendo uma suspensão de sólidos deve ser clarificado usando um filtro prensa que trabalha a uma diferença de pressão constante de 3,3 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa}. A resistência do elemento filtrante \left(R_{m}\right) é 9.10^{10} \mathrm{~m}^{-1} e o filtro possui 21 quadros com 1 \mathrm{~m}^{2} de área em cada quadro. A resistência específica da torta (\chi) é 2,1 \cdot 10^{11} \mathrm{m} / \mathrm{kg}. O alimento possui 23,5 \mathrm{~kg} de sólidos para cada \mathrm{m}^{3} de filtrado. Cada ciclo de operação do filtro recupera 4 \mathrm{~m}^{3} de filtrado. A viscosidade do filtrado é de 8,9 \cdot 10^{-4} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}.
K_{P}=\frac{\mu \chi c_{t}}{A^{2}(-\Delta P)} \quad \frac{1}{\dot{Q}_{0}}=\frac{\mu R_{m}}{A(-\Delta P)}
a) ( 1,0 ponto) Calcule o tempo necessário para obter 4 \mathrm{~m}^{3} de filtrado.
t=\frac{K_{P}}{2} V^{2}+\frac{1}{\dot{Q}_{0}} V
b) ( 1,0 ponto) Se a lavagem do filtro é feita usando um volume de água igual a 10 \% do volume de filtrado em um ciclo, calcule o tempo da etapa de lavagem. A vazão de lavagem \left(\dot{Q}_{L}\right) é dada por:
\dot{Q}_{L}=\frac{A^{2}(-\Delta P)}{4 \mu\left(\chi V_{F} c_{t}+A R_{m}\right)}

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e dados fornecidos:
  • Pedido (duas partes):
    • a) Calcular o tempo necessário para obter 4\\ \mathrm{m}^3 de filtrado usando t=\frac{K_{P}}{2} V^{2}+\frac{1}{\dot{Q}_{0}} V.
    • b) Calcular o tempo da etapa de lavagem quando o volume de lavagem é 10\% do filtrado e a vazão de lavagem é \dot{Q}_{L}=\frac{A^{2}(-\Delta P)}{4 \mu\left(\chi V_{F} c_{t}+A R_{m}\right)}.
  • Dados fornecidos (colocados de forma clara para usar nas fórmulas):
    • Diferença de pressão: \;(-\Delta P)=3{,}3\cdot 10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Resistência do elemento filtrante: \;R_{m}=9{,}0\cdot 10^{10}\\ \mathrm{m}^{-1}.
    • Número de quadros: 21 quadros, área de cada quadro 1\\ \mathrm{m}^2 ⇒ área total de filtração \;A=21\\ \mathrm{m}^2.
    • Resistência específica da torta: \;\chi=2{,}1\cdot 10^{11}\\ \mathrm{m/kg}.
    • Concentração de sólidos por volume de filtrado: \;c_{t}=23{,}5\\ \mathrm{kg/m}^3.
    • Volume de filtrado por ciclo: \;V=4\\ \mathrm{m}^3.
    • Viscosidade do filtrado: \;\mu=8{,}9\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Fórmulas auxiliares dadas no enunciado: K_{P}=\frac{\mu \chi c_{t}}{A^{2}(-\Delta P)},\qquad \frac{1}{\dot{Q}_{0}}=\frac{\mu R_{m}}{A(-\Delta P)}.

Passo 2

Entendendo as fórmulas e as variáveis (aula curta e prática):
  • K_{P} agrupa os parâmetros que fazem o tempo crescer com o quadrado do volume: é proporcional à viscosidade \mu, à resistência específica da torta \chi e à concentração de sólidos c_{t}; divide-se pela área ao quadrado A^{2} e pela pressão disponível (- \Delta P). Dimensionalmente K_{P} tem unidade \mathrm{s/m^6} para que K_{P}V^{2} dê segundos quando V está em \mathrm{m}^3.
  • 1/\dot{Q}_{0} representa o termo linear em V no tempo: depende da resistência do meio filtrante R_{m}, da viscosidade \mu, da área A e da pressão. Dimensão \mathrm{s/m^3}.
  • Para a lavagem:
    • V_{F} no enunciado refere-se ao volume de filtrado do ciclo (a torta formada corresponde ao filtrado produzido), então usamos V_{F}=4\\ \mathrm{m}^3.
    • O volume de lavagem será V_{L}=0{,}1 V=0{,}4\\ \mathrm{m}^3.
    • A expressão de \dot{Q}_{L} dá uma vazão constante de lavagem (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) a partir dos mesmos parâmetros físicos.
Agora vamos calcular passo a passo os valores numéricos.

Passo 3

Cálculo de K_{P}. Usamos a fórmula
K_{P}=\frac{\mu \chi c_{t}}{A^{2}(-\Delta P)}.
Substituindo os valores:
  • Numerador: \mu\chi c_{t}=8{,}9\cdot 10^{-4}\cdot 2{,}1\cdot 10^{11}\cdot 23{,}5. 8{,}9\cdot 10^{-4}\cdot 2{,}1\cdot 10^{11}=1{,}869\cdot 10^{8}
1{,}869\cdot 10^{8}\cdot 23{,}5=4{,}39215\cdot 10^{9}.
  • Denominador: A^{2}(-\Delta P)=21^{2}\cdot 3{,}3\cdot 10^{5}=441\cdot 3{,}3\cdot 10^{5}=1{,}4553\cdot 10^{8}.
  • Dividindo: K_{P}=\frac{4{,}39215\cdot 10^{9}}{1{,}4553\cdot 10^{8}} \approx 30{,}18028\\ \mathrm{s/m^{6}}.

Passo 4

Cálculo de 1/\dot{Q}_{0}. Usamos
\frac{1}{\dot{Q}_{0}}=\frac{\mu R_{m}}{A(-\Delta P)}.
Substituindo:
  • Numerador: \mu R_{m}=8{,}9\cdot 10^{-4}\cdot 9{,}0\cdot 10^{10}=8{,}01\cdot 10^{7}.
  • Denominador: A(-\Delta P)=21\cdot 3{,}3\cdot 10^{5}=6{,}93\cdot 10^{6}.
  • Dividindo: \frac{1}{\dot{Q}_{0}}=\frac{8{,}01\cdot 10^{7}}{6{,}93\cdot 10^{6}}\approx 11{,}55647\\ \mathrm{s/m^{3}}.

Passo 5

Cálculo do tempo total de filtração para V=4\\ \mathrm{m}^3 usando
t=\frac{K_{P}}{2} V^{2}+\frac{1}{\dot{Q}_{0}} V.
  • Primeiro termo (quadrático): \frac{K_{P}}{2}V^{2}=\frac{30{,}18028}{2}\cdot (4)^{2}=15{,}09014\cdot 16=241{,}4422\\ \mathrm{s}.
  • Segundo termo (linear): \frac{1}{\dot{Q}_{0}}V=11{,}55647\cdot 4=46{,}2259\\ \mathrm{s}.
  • Soma: t=241{,}4422+46{,}2259=287{,}6681\\ \mathrm{s}\approx 287{,}7\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos: 287{,}7\\ \mathrm{s}\div 60\approx 4{,}79\\ \mathrm{min}.

Passo 6

Cálculo da vazão de lavagem \dot{Q}_{L}. Usamos
\dot{Q}_{L}=\frac{A^{2}(-\Delta P)}{4 \mu\left(\chi V_{F} c_{t}+A R_{m}\right)}.
  • Primeiro calcule \chi V_{F} c_{t}: \chi V_{F} c_{t}=2{,}1\cdot 10^{11}\cdot 4\cdot 23{,}5=1{,}974\cdot 10^{13}.
  • Calc. A R_{m}=21\cdot 9{,}0\cdot 10^{10}=1{,}89\cdot 10^{12}.
  • Soma: \chi V_{F} c_{t}+A R_{m}=1{,}974\cdot 10^{13}+1{,}89\cdot 10^{12}=2{,}163\cdot 10^{13}.
  • Numerador (já calculado antes): A^{2}(-\Delta P)=1{,}4553\cdot 10^{8}.
  • Denominador: 4\mu(\cdots)=4\cdot 8{,}9\cdot 10^{-4}\cdot 2{,}163\cdot 10^{13}=0{,}00356\cdot 2{,}163\cdot 10^{13}=7{,}70028\cdot 10^{10}.
  • Dividindo: \dot{Q}_{L}=\frac{1{,}4553\cdot 10^{8}}{7{,}70028\cdot 10^{10}}\approx 1{,}8906\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}.

Passo 7

Cálculo do tempo de lavagem. Volume de lavagem:
V_{L}=0{,}1\cdot V=0{,}1\cdot 4=0{,}4\\ \mathrm{m^{3}}.
Tempo de lavagem:
t_{lavagem}=\frac{V_{L}}{\dot{Q}_{L}}=\frac{0{,}4}{1{,}8906\cdot 10^{-3}}\approx 211{,}54\\ \mathrm{s}.
Convertendo para minutos: 211{,}54\\ \mathrm{s}\div 60\approx 3{,}53\\ \mathrm{min}.

Resposta

a) t \approx 287{,}7\\ \mathrm{s} (aprox. 4{,}79\\ \mathrm{min}).
b) t_{lavagem} \approx 211{,}5\\ \mathrm{s} (aprox. 3{,}53\\ \mathrm{min}).

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