Question 7 Considere um solenoide cujo eixo coincide com o eixo x, com diâmetro interno D, N espiras enroladas e um comprimento total L. Esse solenoide está conectado a uma resistência externa R, enquanto sua resistência própria pode ser considerada como desprezível. O solenoide está imerso em um campo magnético homogêneo que varia com o tempo na forma: \vec{B}=B_{0}\left(e^{-t / \tau} \hat{x}+\frac{t^{2}}{\tau^{2}} \hat{y}\right), onde B_{0} e \tau são constantes.
a) ( 3 pontos) Determine o fluxo magnético que o campo gera em uma volta do solenoide.
b) (4 pontos) Determine a corrente elétrica induzida em função do tempo que passsa pelo resistor R.
c) (3 pontos) Determine o campo magnético gerado pelo solenoide produzido pela corrente induzida circulando no solenoide.
\square 0 \square 1 \square 2 \square 3 \square 4 \square 5 \square 6 \square 7 \square^{\square} \square 8 \square^{\square} \square 10

Passo 1

O enunciado trata de um solenoide de raio a=D/2, eixo ao longo de x, com N espiras e comprimento L, ligado a uma resistência externa R (resistência interna desprezível). Ele está imerso num campo homogêneo
\vec{B}(t)=B_{0}\bigl(e^{-t/\tau}\,\hat{x}+\tfrac{t^{2}}{\tau^{2}}\,\hat{y}\bigr).
Precisamos achar:
  1. O fluxo magnético numa volta do solenoide;
  2. A corrente induzida em função do tempo que passa por R;
  3. O campo magnético interno gerado pela corrente no solenoide.

Passo 2

Cada volta do solenoide é um círculo de área
A=\pi a^{2}=\pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^{2}=\frac{\pi D^{2}}{4}.
O vetor área tem direção \hat{n}=\hat{x}. Só o componente B_{x}=B_{0}e^{-t/\tau} contribui para o fluxo. Assim, o fluxo numa espira é
\varphi(t)=\int_{S}\vec{B}\cdot d\vec{A} = B_{x}(t)\,A = B_{0}\,e^{-t/\tau}\,\frac{\pi D^{2}}{4}.

Passo 3

A indutância mútua de todas as N espiras gera fluxo ligado \Psi=N\,\varphi(t). A fem induzida é
\varepsilon(t)=-\frac{d\Psi}{dt} =-N\,\frac{d\varphi}{dt}.
Como
\frac{d\varphi}{dt} =\frac{d}{dt}\Bigl(B_{0}e^{-t/\tau}\frac{\pi D^{2}}{4}\Bigr) =-B_{0}\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\frac{\pi D^{2}}{4},
vem
\varepsilon(t) =-N\Bigl(-B_{0}\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\frac{\pi D^{2}}{4}\Bigr) = N\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,\frac{B_{0}}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
Essa fem faz correr corrente em R:
i(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R} =\;N\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,\frac{B_{0}}{R\,\tau}\;e^{-t/\tau}.

Passo 4

Um solenoide longo, com N espiras em comprimento L e corrente i(t), gera internamente campo
\vec{B}_{\rm sol}(t) =\mu_{0}\,\frac{N}{L}\,i(t)\;\hat{x}.
Substituindo i(t), obtemos
\vec{B}_{\rm sol}(t) =\mu_{0}\,\frac{N}{L}\, \Bigl[N\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,\frac{B_{0}}{R\,\tau}\,e^{-t/\tau}\Bigr]\hat{x} =\mu_{0}\,\frac{N^{2}\,\pi D^{2}}{4\,L}\,\frac{B_{0}}{R\,\tau}\;e^{-t/\tau}\;\hat{x}.

Resposta

a) \displaystyle \varphi(t)=B_{0}\,e^{-t/\tau}\,\frac{\pi D^{2}}{4}.
b) \displaystyle i(t)=N\,\frac{\pi D^{2}}{4}\,\frac{B_{0}}{R\,\tau}\;e^{-t/\tau}.
c) \displaystyle \vec{B}_{\rm sol}(t) =\mu_{0}\,\frac{N^{2}\,\pi D^{2}}{4\,L}\,\frac{B_{0}}{R\,\tau}\;e^{-t/\tau}\;\hat{x}.

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