Question 7 Um solenóide longo e fino consiste em N=20 espiras de cobre próximas uma das outras, com \ell=10 \mathrm{~cm} de comprimento e diâmetro de d=2 \mathrm{~cm}. O solenóide é colocado em um circuito com uma bateria de \varepsilon=12 \mathrm{~V} e um resistor de R=10 \Omega (desconsidere efeitos de borda e a resistência do solenoide).
a) (2 pontos) Determine a corrente que passa pelas espiras.
b) ( 3 pontos) Determine a magnitude do campo magnético produzido (considere \mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m} ).
c) ( 2 pontos) Determine o fluxo magnético no interior do solenóide.
d) ( 3 pontos) Determine a auto-indutância do solenóide.
\longrightarrow 0 \square 1 \square 12 \square 3 \square \square \square ]_{5} \square 6 \square ] 7 \square 8 \square 9 \square 10

Passo 1

O enunciado descreve um solenóide longo e fino com N=20 espiras, comprimento \ell=10\\ \mathrm{cm} e diâmetro d=2\\ \mathrm{cm}. Ele está ligado em série a uma bateria de força eletromotriz \varepsilon=12\\ \mathrm{V} e a um resistor de R=10\\ \Omega. Desprezamos a resistência do fio e efeitos de borda. Precisamos calcular:
  • a corrente I;
  • o campo magnético B interno;
  • o fluxo magnético \Phi por espira;
  • a autoindutância L.

Passo 2

Em regime estacionário a corrente é dada por
I = \frac{\varepsilon}{R}\,.
Substituindo \varepsilon=12\\ \mathrm{V} e R=10\\ \Omega,
I = \frac{12}{10} = 1{,}2\\ \mathrm{A}\,.

Passo 3

O campo magnético dentro de um solenóide longo e fino é
B = \mu_{0}\,n\,I,
onde
n = \frac{N}{\ell}
é o número de espiras por unidade de comprimento. Convertendo \ell=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m}, temos
n = \frac{20}{0{,}10} = 200\\ \mathrm{espiras/m}.
Usando \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m} e I=1{,}2\\ \mathrm{A},
B = 4\pi\times10^{-7}\times200\times1{,}2 \approx 3{,}02\times10^{-4}\\ \mathrm{T}.

Passo 4

O fluxo magnético por espira é
\Phi = B\,A,
sendo A a área da seção transversal do solenóide:
A = \pi\Bigl(\frac{d}{2}\Bigr)^{2} = \pi\bigl(0{,}01\\ \mathrm{m}\bigr)^{2} = \pi\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2} \approx 3{,}14\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
Logo
\Phi = 3{,}02\times10^{-4}\times3{,}14\times10^{-4} \approx 9{,}48\times10^{-8}\\ \mathrm{Wb}.

Passo 5

A autoindutância de um solenóide é
L = \frac{N\,\Phi}{I} = \frac{\mu_{0}N^{2}A}{\ell}.
Substituindo os valores:
L = \frac{4\pi\times10^{-7}\times20^{2}\times3{,}14\times10^{-4}}{0{,}10} \approx 1{,}58\times10^{-6}\\ \mathrm{H}.

Resposta

a) I = 1{,}2\\ \mathrm{A}
b) B \approx 3{,}02\times10^{-4}\\ \mathrm{T}
c) \Phi \approx 9{,}48\times10^{-8}\\ \mathrm{Wb}
d) L \approx 1{,}58\times10^{-6}\\ \mathrm{H}

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