QUESTÕES 02: (IFG 2019) Se o raio \mathbf{R} de uma circunferência for reduzido pela metade, é correto afirmar que: (peso - 0,70)
A) O valor da área do círculo ficará reduzida pela metade do valor da área do círculo inicial de raio R.
B) O valor da área do círculo ficará a \frac{3}{4} do valor da área do círculo inicial de raio R.
C) O comprimento da circunferência se reduzirá a \frac{1}{4} do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R .
D) O comprimento da circunferência se reduzirá à metade do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dado: o raio inicial de uma circunferência é R.
  • Dado: o raio é reduzido pela metade, ou seja, o novo raio é \dfrac{R}{2}.
  • Pedido: identificar qual das alternativas A, B, C ou D está correta sobre como a área do círculo ou o comprimento da circunferência mudam quando o raio passa de R para \dfrac{R}{2}.
Observação: as alternativas falam sobre a área do círculo (área da região interior) e sobre o comprimento da circunferência (perímetro). Vou usar as fórmulas conhecidas para área e comprimento para comparar os valores antes e depois da redução do raio.

Passo 2

Apresentar as fórmulas e explicar o que cada símbolo significa.
  • Fórmula da área do círculo: A=\pi R^{2}
onde \pi é a constante (aprox. 3,1415\ldots) e R é o raio do círculo. Aqui A é a área do círculo com raio R.
  • Fórmula do comprimento da circunferência: C=2\pi R
onde C é o comprimento (perímetro) da circunferência de raio R.
Explicação didática curta: a área cresce com o quadrado do raio (porque envolve R^{2}), enquanto o comprimento cresce linearmente com o raio (porque envolve R apenas).

Passo 3

Calcular o novo comprimento quando o raio vira \dfrac{R}{2} e comparar com o comprimento original.
  • Comprimento original: C=2\pi R.
  • Comprimento com novo raio: C' = 2\pi\left(\dfrac{R}{2}\right).
Agora simplifico a expressão em \,C'\,:
C' = 2\pi\cdot\dfrac{R}{2} = \pi R.
Compare com o original \,C=2\pi R. Dividindo C' por C:
\dfrac{C'}{C} = \dfrac{\pi R}{2\pi R} = \dfrac{1}{2}.
Conclusão parcial (não a resposta final ainda): o novo comprimento é metade do comprimento original.

Passo 4

Calcular a nova área quando o raio vira \dfrac{R}{2} e comparar com a área original.
  • Área original: A=\pi R^{2}.
  • Área com novo raio: A'=\pi\left(\dfrac{R}{2}\right)^{2}.
Agora simplifico \,A'\,:
A'=\pi\cdot\dfrac{R^{2}}{4}=\dfrac{\pi R^{2}}{4}.
Compare com o original \,A=\pi R^{2}. Dividindo A' por A:
\dfrac{A'}{A}=\dfrac{\tfrac{\pi R^{2}}{4}}{\pi R^{2}}=\dfrac{1}{4}.
Conclusão parcial: a área passa a ser um quarto da área original (ou seja, reduz-se a \dfrac{1}{4} do valor inicial).

Passo 5

Interpretar cada alternativa usando os resultados obtidos.
  • A) Diz que a área ficará reduzida pela metade: isso contradiz o cálculo, pois vimos que a área fica em \dfrac{1}{4} da original. Logo A é falsa.
  • B) Diz que a área ficará em \dfrac{3}{4} do valor inicial: também contradiz o cálculo ( \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{3}{4}). Logo B é falsa.
  • C) Diz que o comprimento se reduzirá a \dfrac{1}{4} do valor inicial: do cálculo, o comprimento ficou em \dfrac{1}{2} do original, não em \dfrac{1}{4}. Logo C é falsa.
  • D) Diz que o comprimento se reduzirá à metade do valor do comprimento inicial: isso coincide exatamente com o resultado do Passo 3, onde calculamos \dfrac{C'}{C}=\dfrac{1}{2}. Portanto D é verdadeira.
Pequeno reforço intuitivo: reduzir o raio pela metade corta o comprimento pela metade (porque C é proporcional a R) e corta a área por quatro (porque A é proporcional a R^{2}) — sempre que for reduzir o comprimento linear pela metade, a área cai por um fator de 2^{2}=4.

Resposta

D)

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