QUESTÕES 02: (IFG 2019) Se o raio
de uma circunferência for reduzido pela metade, é correto afirmar que: (peso - 0,70)
A) O valor da área do círculo ficará reduzida pela metade do valor da área do círculo inicial de raio
.
B) O valor da área do círculo ficará a
do valor da área do círculo inicial de raio
.
C) O comprimento da circunferência se reduzirá a
do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R .
D) O comprimento da circunferência se reduzirá à metade do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R .
A) O valor da área do círculo ficará reduzida pela metade do valor da área do círculo inicial de raio
B) O valor da área do círculo ficará a
C) O comprimento da circunferência se reduzirá a
D) O comprimento da circunferência se reduzirá à metade do valor do comprimento da circunferência inicial de raio R .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dado: o raio inicial de uma circunferência é
. - Dado: o raio é reduzido pela metade, ou seja, o novo raio é
. - Pedido: identificar qual das alternativas A, B, C ou D está correta sobre como a área do círculo ou o comprimento da circunferência mudam quando o raio passa de
para .
Observação: as alternativas falam sobre a área do círculo (área da região interior) e sobre o comprimento da circunferência (perímetro). Vou usar as fórmulas conhecidas para área e comprimento para comparar os valores antes e depois da redução do raio.
Passo 2
Apresentar as fórmulas e explicar o que cada símbolo significa.
- Fórmula da área do círculo:
onde
é a constante (aprox.
) e
é o raio do círculo. Aqui
é a área do círculo com raio
.
- Fórmula do comprimento da circunferência:
onde
é o comprimento (perímetro) da circunferência de raio
.
Explicação didática curta: a área cresce com o quadrado do raio (porque envolve
), enquanto o comprimento cresce linearmente com o raio (porque envolve
apenas).
Passo 3
Calcular o novo comprimento quando o raio vira
e comparar com o comprimento original.
-
Comprimento original:
-
Comprimento com novo raio:
Agora simplifico a expressão em
:
Compare com o original
. Dividindo
por
:
Conclusão parcial (não a resposta final ainda): o novo comprimento é metade do comprimento original.
Passo 4
Calcular a nova área quando o raio vira
e comparar com a área original.
-
Área original:
-
Área com novo raio:
Agora simplifico
:
Compare com o original
. Dividindo
por
:
Conclusão parcial: a área passa a ser um quarto da área original (ou seja, reduz-se a
do valor inicial).
Passo 5
Interpretar cada alternativa usando os resultados obtidos.
- A) Diz que a área ficará reduzida pela metade: isso contradiz o cálculo, pois vimos que a área fica em
da original. Logo A é falsa. - B) Diz que a área ficará em
do valor inicial: também contradiz o cálculo ( ). Logo B é falsa. - C) Diz que o comprimento se reduzirá a
do valor inicial: do cálculo, o comprimento ficou em do original, não em . Logo C é falsa. - D) Diz que o comprimento se reduzirá à metade do valor do comprimento inicial: isso coincide exatamente com o resultado do Passo 3, onde calculamos
. Portanto D é verdadeira.
Pequeno reforço intuitivo: reduzir o raio pela metade corta o comprimento pela metade (porque
é proporcional a
) e corta a área por quatro (porque
é proporcional a
) — sempre que for reduzir o comprimento linear pela metade, a área cai por um fator de
.
Resposta
D)