QUESTÕES 06: Dados os vetores: (peso-0,75)
\vec{a}=(3,4) e \vec{b}=(4,-3), determine o ângulo entre eles.
A) 0^{\circ}
B) 45^{\circ}
C) 90^{\circ}
D) 180^{\circ}

Passo 1

O enunciado fornece os vetores e pede o ângulo entre eles (escolher entre as alternativas A–D). Dados fornecidos:
  • \vec{a}=(3,4).
  • \vec{b}=(4,-3).
    A pergunta é: determinar o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Vamos usar a definição algébrica e geométrica do produto escalar (dot product). Para vetores no plano com componentes \vec{u}=(u_x,u_y) e \vec{v}=(v_x,v_y) vale:
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y
e a relação geométrica é
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde:
  • \|\vec{u}\| é o comprimento (magnitude) do vetor \vec{u},
  • \|\vec{v}\| é o comprimento do vetor \vec{v},
  • \theta é o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v},
  • \cos\theta é o cosseno desse ângulo.
Vou aplicar essas fórmulas com \vec{u}=\vec{a} e \vec{v}=\vec{b}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} usando a fórmula de componentes:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot4 + 4\cdot(-3).
Agora computar:
3\cdot4 = 12,\qquad 4\cdot(-3) = -12,
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\vec{a}\cdot\vec{b}=12+(-12)=0.

Passo 4

Calcular as magnitudes \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\|. A magnitude de \vec{u}=(u_x,u_y) é \|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^{2}+u_y^{2}}.
Para \vec{a}:
\|\vec{a}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Para \vec{b}:
\|\vec{b}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.

Passo 5

Usar a relação \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta para achar \theta. Substituindo os valores que já calculamos:
0=\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta = 5\cdot5\cdot\cos\theta = 25\cos\theta.
Dividindo por 25 obtemos
\cos\theta = 0.
Sabendo a trigonometria básica, o cosseno é zero em \theta=90^\circ (no intervalo 0^\circ a 180^\circ, que é o que interessa para o ângulo entre vetores). Também interpretamos geometricamente: produto escalar zero indica vetores ortogonais (perpendiculares).

Passo 6

Portanto o ângulo entre \vec{a} e \vec{b} é 90^\circ, que corresponde à alternativa correta.

Resposta

C) 90^\circ

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