Nas questões de 11 a 14, considere
, com
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
, resultante da intersecção de
, no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a inclinação da reta tangente à curva
obtida pela intersecção da superfície
com o plano
, no ponto
.
Informações fornecidas:
A curva
é a intersecção de
com
. O ponto onde se quer a inclinação é
.
O que precisamos encontrar: a inclinação da reta tangente à curva
naquele ponto (ou seja, a taxa de variação de
em relação a
ao longo de
no ponto dado).
Passo 2
Entender o que é a curva
e como obter sua inclinação de forma prática.
Quando intersectamos a superfície com
fixamos
e deixamos
variar. Assim a interseção é uma curva que pode ser vista como uma função univariada
obtida restringindo
a
:
A inclinação da reta tangente à curva
no ponto corresponde à derivada
avaliada naquele ponto (ou, geometricamente, à razão
instantânea ao longo da curva).
Passo 3
Calcular a função restringida
substituindo
em
:
Para
essa expressão simplifica para
Observação: o ponto considerado tem
, portanto a simplificação é válida no entorno do ponto.
Passo 4
Calcular a derivada
. Como
é a função constante
, sua derivada é zero:
Explicação didática rápida: a derivada mede a variação instantânea; se a função não muda quando
varia (é constante), a variação instantânea é zero.
Passo 5
Interpretação geométrica: a curva
é a reta de equação parametrizada por
. O vetor tangente em qualquer ponto é
, que mostra variação apenas em
e nenhuma variação em
. Assim a reta tangente é horizontal em relação ao eixo
, produzindo inclinação zero.