Nas questões de 11 a 14, considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção de z=f(x, y) \mathrm{com}
x=0, no ponto (0,1,-1)

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede a inclinação da reta tangente à curva C obtida pela intersecção da superfície z=f(x,y) com o plano x=0, no ponto (0,1,-1).
Informações fornecidas:
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}
A curva C é a intersecção de z=f(x,y) com x=0. O ponto onde se quer a inclinação é (0,1,-1).
O que precisamos encontrar: a inclinação da reta tangente à curva C naquele ponto (ou seja, a taxa de variação de z em relação a y ao longo de C no ponto dado).

Passo 2

Entender o que é a curva C e como obter sua inclinação de forma prática.
Quando intersectamos a superfície com x=0 fixamos x e deixamos y variar. Assim a interseção é uma curva que pode ser vista como uma função univariada z(y) obtida restringindo f a x=0:
z(y)=f(0,y).
A inclinação da reta tangente à curva C no ponto corresponde à derivada \dfrac{dz}{dy} avaliada naquele ponto (ou, geometricamente, à razão \Delta z/\Delta y instantânea ao longo da curva).

Passo 3

Calcular a função restringida z(y) substituindo x=0 em f:
z(y)=f(0,y)=\frac{0-y}{0+y}=\frac{-y}{y}.
Para y\neq0 essa expressão simplifica para
z(y)=-1.
Observação: o ponto considerado tem y=1\neq0, portanto a simplificação é válida no entorno do ponto.

Passo 4

Calcular a derivada \dfrac{dz}{dy}. Como z(y) é a função constante -1, sua derivada é zero:
\frac{dz}{dy}=0.
Explicação didática rápida: a derivada mede a variação instantânea; se a função não muda quando y varia (é constante), a variação instantânea é zero.

Passo 5

Interpretação geométrica: a curva C é a reta de equação parametrizada por y\mapsto(0,y,-1). O vetor tangente em qualquer ponto é (0,1,0), que mostra variação apenas em y e nenhuma variação em z. Assim a reta tangente é horizontal em relação ao eixo z, produzindo inclinação zero.

Resposta

\;0\;

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