Nas questões de 6 a 9, considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção de z=f(x, y) \mathrm{com}\\ \(x=0, no ponto \left(0,1, \frac{1-e}{1+e}\right))

Passo 1

O enunciado dá a função \,z=f(x,y)\, definida por
f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}.
A curva C é a intersecção da superfície z=f(x,y) com o plano x=0. O ponto indicado na curva é \left(0,1,\frac{1-e}{1+e}\right) (peguei x=0, y=1 e o valor de z da própria fórmula com esses x,y).
O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva C no ponto dado. Em outras palavras, encontrar a derivada \dfrac{dz}{dy} ao longo da curva (já que x está fixo em 0, o parâmetro natural é y) no ponto y=1.

Passo 2

Parametrização natural da curva C. Como x=0 é constante, podemos usar y como parâmetro. Então a curva C pode ser escrita como
\mathbf{r}(y)=\bigl(0,\;y,\;f(0,y)\bigr).
A reta tangente a C em um ponto parametrizado por y tem direção dada por \mathbf{r}'(y), o vetor derivada em relação ao parâmetro. Portanto a inclinação que a questão pede é simplesmente a derivada do terceiro componente em relação a y, isto é
\frac{dz}{dy}=\frac{d}{dy}f(0,y)=f_y(0,y),
onde f_y é a derivada parcial de f em relação a y. Vou calcular f_y(x,y) de forma geral e depois avaliar em (0,1).

Passo 3

Cálculo de f_y(x,y) usando a regra do quociente. Para aplicar a regra do quociente, escrevemos
u(x,y)=e^{x}-e^{y},\qquad v(x,y)=e^{x}+e^{y},
de modo que f=\dfrac{u}{v}. A regra do quociente diz que, derivando em relação a y,
f_y=\frac{u_y\,v-u\,v_y}{v^{2}}.
Agora calculemos u_y e v_y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}-e^{y})=-e^{y}, \qquad v_y=\frac{\partial}{\partial y}(e^{x}+e^{y})=e^{y}.
Substituindo na fórmula:
f_y=\frac{(-e^{y})(e^{x}+e^{y})-(e^{x}-e^{y})(e^{y})}{(e^{x}+e^{y})^{2}}.
Vamos desenvolver o numerador passo a passo:
(-e^{y})(e^{x}+e^{y})-(e^{x}-e^{y})(e^{y}) = -e^{y}e^{x}-e^{2y}-e^{x}e^{y}+e^{2y}.
Observe que os termos -e^{2y} e +e^{2y} se cancelam, sobrando
- e^{y}e^{x} - e^{x}e^{y} = -2 e^{x+y}.
Assim obtemos a expressão simplificada
f_y(x,y) = -\frac{2e^{x+y}}{(e^{x}+e^{y})^{2}}.

Passo 4

Avaliação em (x,y)=(0,1). Substituindo x=0 e y=1 na expressão de f_y:
f_y(0,1) = -\frac{2e^{0+1}}{(e^{0}+e^{1})^{2}} = -\frac{2e}{(1+e)^{2}}.
Interpretação: a derivada \dfrac{dz}{dy} ao longo da curva C no ponto dado é -\dfrac{2e}{(1+e)^{2}}. O vetor tangente em (0,1,\frac{1-e}{1+e}) é então
\mathbf{r}'(1)=\Bigl(0,\;1,\;-\frac{2e}{(1+e)^{2}}\Bigr),
e a reta tangente pode ser escrita parametricamente (se for útil) como
( x,y,z )=\left(0,\,1,\,\frac{1-e}{1+e}\right)+t\left(0,\,1,\,-\frac{2e}{(1+e)^{2}}\right).

Resposta

-\dfrac{2e}{(1+e)^{2}}

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