Nas questões de 6 a 9, considere
, com
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
, resultante da intersecção de
, no ponto
)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
A curva
é a intersecção da superfície
com o plano
. O ponto indicado na curva é
(peguei
,
e o valor de
da própria fórmula com esses
).
O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto dado. Em outras palavras, encontrar a derivada
ao longo da curva (já que
está fixo em
, o parâmetro natural é
) no ponto
.
O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva
Passo 2
Parametrização natural da curva
. Como
é constante, podemos usar
como parâmetro. Então a curva
pode ser escrita como
A reta tangente a
em um ponto parametrizado por
tem direção dada por
, o vetor derivada em relação ao parâmetro. Portanto a inclinação que a questão pede é simplesmente a derivada do terceiro componente em relação a
, isto é
onde
é a derivada parcial de
em relação a
. Vou calcular
de forma geral e depois avaliar em
.
Passo 3
Cálculo de
usando a regra do quociente. Para aplicar a regra do quociente, escrevemos
de modo que
. A regra do quociente diz que, derivando em relação a
,
Agora calculemos
e
:
Substituindo na fórmula:
Vamos desenvolver o numerador passo a passo:
Observe que os termos
e
se cancelam, sobrando
Assim obtemos a expressão simplificada
Passo 4
Avaliação em
. Substituindo
e
na expressão de
:
Interpretação: a derivada
ao longo da curva
no ponto dado é
. O vetor tangente em
é então
e a reta tangente pode ser escrita parametricamente (se for útil) como