Nas questões de 11 a 14, considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva C, resultante da intersecção de z=f(x, y) \mathrm{com}
y=0, no ponto (1,0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função z=f(x,y) com
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y},
e a curva C é a interseção da superfície z=f(x,y) com o plano y=0. O ponto onde queremos a inclinação da reta tangente é (1,0,1).
O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva C no ponto dado.
Informações relevantes dadas:
  • A função explícita f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+y}.
  • A curva C é obtida impondo y=0.
  • O ponto de interesse é (1,0,1) (confere que f(1,0)=1).

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): quando intersectamos a superfície com y=0, obtemos uma curva descrita por uma função de uma variável só, z=z(x)=f(x,0). A inclinação pedida é a derivada \dfrac{dz}{dx} avaliada em x=1. Vou fazer isso diretamente e, em seguida, mostrar uma verificação alternativa usando derivadas parciais (útil para casos mais gerais).

Passo 3

Restrição da função ao plano y=0. Substitui-se y=0 em f:
z(x)=f(x,0)=\frac{x-0}{x+0}=\frac{x}{x}.
Para x\neq0 isso simplifica para
z(x)=1.
Então, sobre a curva C (para x\neq0), a coordenada z é constante igual a 1.

Passo 4

Derivada da função reduzida z(x)=1. Uma função constante tem derivada zero, portanto
\frac{dz}{dx}=0
para todo x\neq0, em particular em x=1. Isso significa que a reta tangente à curva C é horizontal no eixo z (não sobe nem desce ao variar x).

Passo 5

Verificação alternativa usando derivadas parciais (para entender melhor a teoria). A inclinação da curva C no sentido do aumento de x (com y fixo em 0) é dada pela derivada direcional na direção do eixo x, que para curvas da forma y= constante coincide com a derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} avaliada no ponto.
Calculemos \dfrac{\partial f}{\partial x} pela regra do quociente. Para
f(x,y)=\frac{x-y}{x+y},
a fórmula da derivada parcial em relação a x (regra do quociente) é
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(1)\cdot(x+y)-(x-y)\cdot(1)}{(x+y)^2}.
Desenvolvendo o numerador:
(x+y)-(x-y)=x+y-x+y=2y.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2y}{(x+y)^2}.
Avaliando no ponto (1,0) (as coordenadas x,y do ponto da curva):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,0)=\frac{2\cdot 0}{(1+0)^2}=0.
Isto confirma que a derivada \dfrac{dz}{dx} ao mover-se ao longo de C (com y=0) é 0 no ponto pedido.

Passo 6

Interpretação geométrica e equação paramétrica da reta tangente (opcional, para visualizar): parametrize a curva C por r(t)=(t,0,f(t,0))=(t,0,1). Então o vetor tangente é
r'(t)=(1,0,0),
e em t=1 obtemos o vetor tangente (1,0,0). A reta tangente em forma paramétrica é
(x,y,z)=(1+t,\,0,\,1),
o que confirma que, ao variar x, z permanece constante (inclinação zero).

Resposta

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