Nas questões de 11 a 14, considere
, com
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva
, resultante da intersecção de
, no ponto
Passo 1
O enunciado nos dá a função
com
e a curva
é a interseção da superfície
com o plano
. O ponto onde queremos a inclinação da reta tangente é
.
O que se pede: encontrar a inclinação da reta tangente à curva
no ponto dado.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função explícita
. - A curva
é obtida impondo . - O ponto de interesse é
(confere que ).
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): quando intersectamos a superfície com
, obtemos uma curva descrita por uma função de uma variável só,
. A inclinação pedida é a derivada
avaliada em
. Vou fazer isso diretamente e, em seguida, mostrar uma verificação alternativa usando derivadas parciais (útil para casos mais gerais).
Passo 3
Restrição da função ao plano
. Substitui-se
em
:
Para
isso simplifica para
Então, sobre a curva
(para
), a coordenada
é constante igual a
.
Passo 4
Derivada da função reduzida
. Uma função constante tem derivada zero, portanto
para todo
, em particular em
. Isso significa que a reta tangente à curva
é horizontal no eixo
(não sobe nem desce ao variar
).
Passo 5
Verificação alternativa usando derivadas parciais (para entender melhor a teoria). A inclinação da curva
no sentido do aumento de
(com
fixo em
) é dada pela derivada direcional na direção do eixo
, que para curvas da forma
constante coincide com a derivada parcial
avaliada no ponto.
Calculemos
pela regra do quociente. Para
a fórmula da derivada parcial em relação a
(regra do quociente) é
Desenvolvendo o numerador:
Logo
Avaliando no ponto
(as coordenadas
do ponto da curva):
Isto confirma que a derivada
ao mover-se ao longo de
(com
) é
no ponto pedido.
Passo 6
Interpretação geométrica e equação paramétrica da reta tangente (opcional, para visualizar): parametrize a curva
por
. Então o vetor tangente é
e em
obtemos o vetor tangente
. A reta tangente em forma paramétrica é
o que confirma que, ao variar
,
permanece constante (inclinação zero).