QUESTÕES 11: Vetores podem apontar para sentidos opostos em trajetórias que seguem a mesma direção, como em uma linha reta para lados contrários. No entanto, quando estão localizados em retas não paralelas, ainda que pareçam contrários, não são considerados vetores opostos, pois apresentam direções diferentes. Com base nessa informação, em qual das situações a seguir não é possível considerar os vetores como opostos? (peso-0,70)
A) Dois vetores localizados em retas concorrentes, com sentidos contrários.
B) Dois vetores que apontam para lados opostos ao longo de trajetórias paralelas.
C) Dois vetores com módulos iguais e sentidos contrários em uma mesma direção.
D) Dois vetores representando forças de sentidos opostos atuando sobre uma mesma corda.
A) Dois vetores localizados em retas concorrentes, com sentidos contrários.
B) Dois vetores que apontam para lados opostos ao longo de trajetórias paralelas.
C) Dois vetores com módulos iguais e sentidos contrários em uma mesma direção.
D) Dois vetores representando forças de sentidos opostos atuando sobre uma mesma corda.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha em qual das quatro situações NÃO é possível considerar dois vetores como opostos. As opções são:
A) Dois vetores localizados em retas concorrentes, com sentidos contrários.
B) Dois vetores que apontam para lados opostos ao longo de trajetórias paralelas.
C) Dois vetores com módulos iguais e sentidos contrários em uma mesma direção.
D) Dois vetores representando forças de sentidos opostos atuando sobre uma mesma corda.
Vou usar essas informações para analisar cada caso com calma.
A) Dois vetores localizados em retas concorrentes, com sentidos contrários.
B) Dois vetores que apontam para lados opostos ao longo de trajetórias paralelas.
C) Dois vetores com módulos iguais e sentidos contrários em uma mesma direção.
D) Dois vetores representando forças de sentidos opostos atuando sobre uma mesma corda.
Vou usar essas informações para analisar cada caso com calma.
Passo 2
Antes de analisar cada opção, preciso explicar o que significa, rigorosamente, dois vetores serem opostos. Ensino rápido e prático:
- Dados dois vetores
e , dizemos que e são vetores opostos se vale a igualdade
- O que essa igualdade implica, em linguagem simples?
- São colineares: ambos apontam ao longo da mesma reta de direção (ou, visto de outra forma, têm a mesma direção geométrica, só que invertida).
- Têm módulos iguais:
. - Têm sentidos opostos: se um aponta para a direita, o outro aponta para a esquerda ao longo daquela mesma reta.
- Exemplo concreto e fácil:
e . Aqui , são colineares, módulos iguais e sentidos contrários — logo são opostos.
Passo 3
Análise da opção A: “Dois vetores localizados em retas concorrentes, com sentidos contrários.”
- Retas concorrentes significam que as retas se cruzam em um ponto (não são paralelas). Assim os vetores pertencem a retas com direções diferentes, salvo o caso degenerate em que as retas coincidem.
- Se as direções são diferentes, os vetores não são colineares. Pela definição de vetores opostos (Passo 2), a colinearidade é obrigatória.
- Conclusão sobre A (sem dar a resposta final ainda): quando os vetores estão em retas concorrentes (direções diferentes) não há como satisfazer
. Portanto essa situação torna impossível que os vetores sejam opostos.
Passo 4
Análise da opção B: “Dois vetores que apontam para lados opostos ao longo de trajetórias paralelas.”
- Trajetórias paralelas significam que as direções das retas são iguais (mesma direção geométrica), embora os vetores possam estar deslocados espacialmente.
- Vetores livres podem ser transladados sem mudar suas propriedades (módulo, direção, sentido). Então dois vetores em retas paralelas com sentidos opostos e módulos iguais podem ser considerados opostos: basta transladar um sobre a outra e verificar
. - Exemplo:
numa linha e noutra linha . Eles têm mesma direção, sentidos opostos e módulos iguais — podem ser tratados como opostos.
Passo 5
Análise da opção C: “Dois vetores com módulos iguais e sentidos contrários em uma mesma direção.”
- Esta opção descreve exatamente a definição de vetores opostos: mesma direção, mesmos módulos e sentidos opostos.
- Formalmente, se
, direções iguais e sentidos contrários, então . Logo é perfeitamente possível (e é exatamente isso) considerá-los opostos.
Passo 6
Análise da opção D: “Dois vetores representando forças de sentidos opostos atuando sobre uma mesma corda.”
- Forças atuando sobre a mesma corda normalmente atuam ao longo da mesma linha (a corda define a direção da força). Se os sentidos são opostos, então temos duas forças colineares com sentidos contrários.
- Para que sejam formalmente vetores opostos falta apenas que os módulos sejam iguais. A opção não afirma explicitamente os módulos, mas nada impede que as forças tenham módulos iguais; portanto é possível considerar esses vetores como opostos (quando os módulos coincidem).
- Em resumo: por serem colineares e de sentidos opostos, nessa situação existe condição natural para que sejam opostos — basta igualdade de módulos.
Passo 7
Resumo didático rápido e incentivo: para ser um par de vetores opostos é preciso simultaneamente (i) colinearidade, (ii) sentidos opostos e (iii) módulos iguais. Das quatro situações dadas, apenas aquela que quebra a colinearidade (retas com direções diferentes) impede categoricamente a existência de vetores opostos. Segura o ânimo — você já entendeu o critério essencial que cai em prova: pergunte-se sempre “são colineares?” antes de qualquer coisa.
Resposta
A)