Nos questões abaixo, é dada uma equação de demanda onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p. Ache a taxa de variação de p em relação a x : p^2+4 x^2+24 x=108

Passo 1

O enunciado dá a curva de demanda implícita pela equação p^2+4x^2+24x=108 e pede a taxa de variação dpdx. O conteúdo é derivação implícita de funções de duas variáveis.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Como p depende de x, usaremos a regra da cadeia para p^2.

Passo 3

Derivando temos:
ddx(p^2)+ddx(4x^2)+ddx(24x)=ddx(108)

Passo 4

Aplicando as derivadas: ddx(p^2)=2p,dpdx, ddx(4x^2)=8x, ddx(24x)=24 e ddx(108)=0. Assim:
2pdpdx+8x+24=0

Passo 5

Agora isolamos dpdx:
2pdpdx=-8x-24
dpdx=-8x+242p

Passo 6

E simplificando o numerador:
dpdx=-4(x+3)p

Resposta

dpdx=-4,(x+3)p

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