Para as funções abaixo: Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem. Esboce o gráfico: y=8x^2-1

Passo 1

O enunciado pede para achar os intervalos em que a função y=8x^2-1 é crescente ou decrescente, classificar seus extremos e esboçar o gráfico. Vamos usar derivada para monotonicidade e teste da primeira derivada para extremos, além de analisar assíntotas para o esboço.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio e calculamos a derivada: o domínio é todos os x tais que x^2-1neq0, ou seja xneqpm1. Escrevemos
block
f(x)=8,(x^2-1)^-1Longrightarrow f'(x)=8cdot(-1)(x^2-1)^-2cdot2x=-16x(x^2-1)^2

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
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-16x(x^2-1)^2=0Longrightarrow x=0

Passo 4

Agora fazemos o estudo do sinal de f'(x). Note que o denominador (x^2-1)^2>0 para todo xneqpm1, então o sinal de f' é dado por -16x. Temos:
itemize
  • Para x<0: -16x)>0, logo f'(x)>0 (crescente).
  • Para x>0: -16x)<0, logo f'(x)<0 (decrescente).
    Isso vale em cada ramo separado pelo domínio, ficando:
    itemize
  • Crescente em ( -infty,-1)cup(-1,0).
  • Decrescente em (0,1)cup(1,+infty).

Passo 5

Testando o ponto crítico x=0: antes de 0 a função cresce e depois de 0 ela decresce, logo temos um máximo local em x=0 com
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f(0)=80^2-1=-8
Não há outros pontos onde f' se anula nem mudança de sinal em ramais exteriores, então não existem mínimos locais.

Passo 6

Para o esboço do gráfico identificamos as assíntotas:
itemize
  • Verticais em x=1 e x=-1 (denominador zero).
  • Horizontal em y=0 (quando xtopminfty, (f(x)\to0).

Resposta

f é crescente em (−∞,−1)∪(−1,0) e decrescente em (0,1)∪(1,∞). Há um máximo local em x=0, com f(0)=−8. Não há mínimos locais. Assíntotas: verticais x=±1 e horizontal y=0.

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