Para as funções abaixo: Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e classifique os pontos de máximos e mínimos, se existirem. Esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede para achar os intervalos em que a função
é crescente ou decrescente, classificar seus extremos e esboçar o gráfico. Vamos usar derivada para monotonicidade e teste da primeira derivada para extremos, além de analisar assíntotas para o esboço.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio e calculamos a derivada: o domínio é todos os
tais que
, ou seja
. Escrevemos
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Passo 3
Encontramos os pontos críticos resolvendo
:
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Passo 4
Agora fazemos o estudo do sinal de
. Note que o denominador
para todo
, então o sinal de
é dado por
. Temos:
itemize
itemize
- Para
: , logo (crescente). - Para
: , logo (decrescente).
Isso vale em cada ramo separado pelo domínio, ficando:
itemize - Crescente em
. - Decrescente em
.
Passo 5
Testando o ponto crítico
: antes de 0 a função cresce e depois de 0 ela decresce, logo temos um máximo local em
com
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Não há outros pontos onde
Passo 6
Para o esboço do gráfico identificamos as assíntotas:
itemize
itemize
- Verticais em
e (denominador zero). - Horizontal em
(quando , (f(x)\to0).
Resposta
f é crescente em (−∞,−1)∪(−1,0) e decrescente em (0,1)∪(1,∞). Há um máximo local em x=0, com f(0)=−8. Não há mínimos locais. Assíntotas: verticais x=±1 e horizontal y=0.