Encontre os números críticos da função e classifique-os (máximos/mínimos/pontos de inflexão):
Passo 1
O objetivo é achar, para cada função, os números críticos — ou seja, os valores de
onde
— e usar o teste da segunda derivada ou análise de mudança de sinal de
para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.
Passo 2
Para
, calculamos a derivada
Temos
quando
, isto é,
. A segunda derivada é
Como
, há um mínimo local em
.
Passo 3
Para
, calculamos
Logo
em
. A segunda derivada é
Em
temos
, logo máximo local. Em
temos
, logo mínimo local.
Passo 4
Para
,
O único crítico é
. A segunda derivada
leva a
, teste inconclusivo. Observando
para todo
e que
muda de sinal em
, concluímos que há ponto de inflexão em
com reta tangente horizontal.
Passo 5
Para
, aplicamos a regra do produto: seja
e
, então
Colocando em evidência:
Os zeros são
(multiplicidade 2),
(multiplicidade 3) e
(multiplicidade 1).
Analisando o sinal de nos intervalos:
Analisando o sinal de
- Para
: . - Entre
e : ⇒ sinal troca de + para – em , logo máximo local. - Entre
e : ⇒ sinal troca de – para + em , logo mínimo local. - Para
: ⇒ sem troca de sinal em , logo ponto de inflexão.
Passo 6
Organizamos agora as conclusões finais de cada função.
Resposta
- Para
: crítico em , mínimo local. - Para
: críticos em (máximo local) e (mínimo local). - Para
: crítico em , ponto de inflexão. - Para
: críticos em (máximo local), (mínimo local) e (ponto de inflexão).