Encontre os números críticos da função e classifique-os (máximos/mínimos/pontos de inflexão):
& f(x)=2 x^2-8 x+11 & f(x)=x^3-27 x+1 & f(x)=-x^3+6 x^2-12 x+8 & f(x)=(x-8)^3(x-6)^4

Passo 1

O objetivo é achar, para cada função, os números críticos — ou seja, os valores de x onde f'(x)=0 — e usar o teste da segunda derivada ou análise de mudança de sinal de f' para classificar cada ponto como máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão.

Passo 2

Para f(x)=2x^2-8x+11, calculamos a derivada
f'(x)=4x-8
Temos f'(x)=0 quando 4x-8=0, isto é, x=2. A segunda derivada é
f''(x)=4
Como f''(2)=4>0, há um mínimo local em x=2.

Passo 3

Para f(x)=x^3-27x+1, calculamos
f'(x)=3x^2-27=3(x^2-9)
Logo f'(x)=0 em x=pm3. A segunda derivada é
f''(x)=6x
Em x=-3 temos f''(-3)=-18<0, logo máximo local. Em x=3 temos f''(3)=18>0, logo mínimo local.

Passo 4

Para f(x)=-x^3+6x^2-12x+8,
f'(x)=-3x^2+12x-12=-3(x-2)^2
O único crítico é x=2. A segunda derivada
f''(x)=-6x+12
leva a f''(2)=0, teste inconclusivo. Observando f'(x)<=0 para todo x e que f''(x) muda de sinal em x=2, concluímos que há ponto de inflexão em x=2 com reta tangente horizontal.

Passo 5

Para f(x)=(x-8)^3(x-6)^4, aplicamos a regra do produto: seja u=(x-8)^3 e v=(x-6)^4, então
f'(x)=u'v+uv'=3(x-8)^2(x-6)^4+4(x-8)^3(x-6)^3
Colocando em evidência:
Os zeros são
f'(x)=(x-8)^2(x-6)^3[3(x-6)+4(x-8)r]=(x-8)^2(x-6)^3(7x-50) (multiplicidade 2), x=8 (multiplicidade 3) e x=6 (multiplicidade 1).
Analisando o sinal de x=50/7 nos intervalos:
  • Para f': x<6.
  • Entre f'>0 e 6: 50/7 ⇒ sinal troca de + para – em f'<0, logo máximo local.
  • Entre x=6 e 50/7: 8 ⇒ sinal troca de – para + em f'>0, logo mínimo local.
  • Para x=50/7: x>8 ⇒ sem troca de sinal em f'>0, logo ponto de inflexão.

Passo 6

Organizamos agora as conclusões finais de cada função.

Resposta

  1. Para f(x)=2x^2-8x+11: crítico em x=2, mínimo local.
  2. Para f(x)=x^3-27x+1: críticos em x=-3 (máximo local) e x=3 (mínimo local).
  3. Para f(x)=-x^3+6x^2-12x+8: crítico em x=2, ponto de inflexão.
  4. Para f(x)=(x-8)^3(x-6)^4: críticos em x=6 (máximo local), x=50/7 (mínimo local) e x=8 (ponto de inflexão).

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