Nas questōes abaixo, determine a solução juntamente com seu intervalo de definição.
Considere o problema de valor inicial
e responda:
(a) [1 ponto] Verifique se a EDO tem uma única solução para
. Justifique sua resposta.
(b) [1,5 pontos] Resolva o problema de valor inicial apresentado utilizando o método de separação de variáveis.
Considere o problema de valor inicial
(a) [1 ponto] Verifique se a EDO tem uma única solução para
(b) [1,5 pontos] Resolva o problema de valor inicial apresentado utilizando o método de separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO
com condição inicial
.
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade de soluções para EDOs, e vamos precisar escrever a EDO na forma padrão
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade de soluções para EDOs, e vamos precisar escrever a EDO na forma padrão
e verificar continuidade de
e de
num retângulo que contenha
.
Passo 2
Colocando em forma padrão:
Definimos
O domínio natural de
é
, pois só há problema quando
. Note que
para todo
, então não há outra restrição em
.
Passo 3
Verificamos que em qualquer aberto que não contenha
, em particular num retângulo em torno de
, temos:
-
é contínua, pois é razão de funções contínuas com denominador não nulo.
também é contínua (mesma restrição em
).
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução passando por definida num intervalo em torno de
contido em
.
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução passando por
Passo 4
Concluímos então que para a condição inicial
a EDO admite solução única e que o domínio de existência maximal contendo
é
Passo 5
Para resolver explicitamente o PVI com
(parte (b)), reescrevemos a forma padrão e separamos variáveis:
Passo 6
Integramos dos dois lados:
À esquerda:
À direita, com partes em
:
e ainda
. Somando,
Passo 7
Obtém-se a solução implícita
Aplicando
:
Passo 8
Portanto a solução do PVI é dada implicitamente por
com domínio de
tal que
, já que a EDO original exige
.
Resposta
(a) Sim. A função
e sua derivada parcial em
são contínuas para
, logo há existência e unicidade local (e até
ou
).
(b) A solução é dada implicitamente por
(b) A solução é dada implicitamente por
definida em
.