Nas questōes abaixo, determine a solução juntamente com seu intervalo de definição.
Considere o problema de valor inicial
\frac{e^{y}+1}{x+1} \frac{d y}{d x}=\cos (x), \quad y(0)=0
e responda:
(a) [1 ponto] Verifique se a EDO tem uma única solução para y(0)=1. Justifique sua resposta.
(b) [1,5 pontos] Resolva o problema de valor inicial apresentado utilizando o método de separação de variáveis.

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
\frac{e^{y}+1}{x+1}\,\frac{dy}{dx}=\cos(x),
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é o Teorema de existência e unicidade de soluções para EDOs, e vamos precisar escrever a EDO na forma padrão
\frac{dy}{dx}=f(x,y)
e verificar continuidade de f e de \partial f/\partial y num retângulo que contenha (x_{0},y_{0})=(0,1).

Passo 2

Colocando em forma padrão:
\frac{dy}{dx} =\frac{x+1}{e^{y}+1}\,\cos(x).
Definimos
f(x,y)=\frac{x+1}{e^{y}+1}\,\cos(x).
O domínio natural de f é \{(x,y)\mid x\neq -1,\;y\in\mathbb{R}\}, pois só há problema quando x+1=0. Note que e^{y}+1>0 para todo y, então não há outra restrição em y.

Passo 3

Verificamos que em qualquer aberto que não contenha x=-1, em particular num retângulo em torno de (0,1), temos:
  1. f(x,y) é contínua, pois é razão de funções contínuas com denominador não nulo.
\frac{\partial f}{\partial y} =-\frac{(x+1)\,\cos(x)\,e^{y}}{(e^{y}+1)^{2}}
também é contínua (mesma restrição em x\neq -1).
Pelo Teorema de Picard–Lindelöf, existe uma única solução passando por (0,1) definida num intervalo em torno de x=0 contido em \,(-1,\infty).

Passo 4

Concluímos então que para a condição inicial y(0)=1 a EDO admite solução única e que o domínio de existência maximal contendo x=0 é
-1< x < +\infty.

Passo 5

Para resolver explicitamente o PVI com y(0)=0 (parte (b)), reescrevemos a forma padrão e separamos variáveis:
\frac{dy}{dx} =\frac{x+1}{e^{y}+1}\,\cos(x) \quad\Longrightarrow\quad (e^{y}+1)\,dy=(x+1)\cos(x)\,dx.

Passo 6

Integramos dos dois lados:
\int (e^{y}+1)\,dy =\int (x+1)\cos(x)\,dx.
À esquerda:
\int e^{y}\,dy+\int 1\,dy =e^{y}+y.
À direita, com partes em \int x\cos(x)\,dx:
\int x\cos(x)\,dx =x\sin(x)-\int\sin(x)\,dx =x\sin(x)+\cos(x),
e ainda \;\int\cos(x)\,dx=\sin(x). Somando,
\int(x+1)\cos(x)\,dx =x\sin(x)+\cos(x)+\sin(x) =(x+1)\sin(x)+\cos(x).

Passo 7

Obtém-se a solução implícita
e^{y}+y=(x+1)\sin(x)+\cos(x)+C.
Aplicando y(0)=0:
e^{0}+0 =1 =(0+1)\sin(0)+\cos(0)+C =1+C \quad\Longrightarrow\quad C=0.

Passo 8

Portanto a solução do PVI é dada implicitamente por
\boxed{% e^{y}+y=(x+1)\sin(x)+\cos(x),% }
com domínio de x tal que -1<x<+\infty, já que a EDO original exige x\neq -1.

Resposta

(a) Sim. A função
f(x,y)=\frac{x+1}{e^{y}+1}\cos(x)
e sua derivada parcial em y são contínuas para x\neq -1, logo há existência e unicidade local (e até x\to-1^+ ou +\infty).
(b) A solução é dada implicitamente por
e^{y}+y=(x+1)\sin(x)+\cos(x),
definida em -1<x<+\infty.

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