Nas questōes abaixo, determine a solução juntamente com seu intervalo de definição.
[2,5 pontos] Resolva o problema de valor inicial, utilizando o método das equações exatas, dado por
[2,5 pontos] Resolva o problema de valor inicial, utilizando o método das equações exatas, dado por
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo é o método das equações exatas: temos que verificar se existe uma função tal que
O conteúdo é o método das equações exatas: temos que verificar se existe uma função
Passo 2
Verificamos a exatidão conferindo se
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Procuramos
integrando
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 4
Diferenciando
em relação a
e igualando a
:
Assim
Passo 5
A solução geral implícita é
Usando a condição inicial
:
Resposta
A solução implícita com a condição inicial é
O intervalo de definição é todo aberto em torno de
em que
,
garantindo pelo Teorema de Existência e Unicidade que existe única solução num intervalo
contendo
.
garantindo pelo Teorema de Existência e Unicidade que existe única solução