Nas questōes abaixo, determine a solução juntamente com seu intervalo de definição.
[2,5 pontos] Resolva o problema de valor inicial, utilizando o método das equações exatas, dado por
\left(y \cos (x)+2 x e^{y}\right) d x+\left(\operatorname{sen}(x)+x^{2} e^{y}-1\right) d y=0, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\bigl(y\cos x + 2x e^y\bigr)\,dx + \bigl(\sin x + x^2 e^y - 1\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é o método das equações exatas: temos que verificar se existe uma função F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=y\cos x + 2x e^y, \qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=\sin x + x^2 e^y -1.

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo se
\frac{\partial M}{\partial y} =\cos x + 2x e^y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =\cos x + 2x e^y.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) integrando M em relação a x:
F(x,y) =\int\bigl(y\cos x + 2x e^y\bigr)\,dx =y\sin x + e^y\,x^2 + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Diferenciando F em relação a y e igualando a N:
\frac{\partial F}{\partial y} =\sin x + x^2 e^y + h'(y) \overset{!}{=}\sin x + x^2 e^y -1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-1 \;\Rightarrow\; h(y)=-y + C.
Assim
F(x,y)=y\sin x + x^2 e^y - y + C.

Passo 5

A solução geral implícita é
y\sin x + x^2 e^y - y = C.
Usando a condição inicial x=0,\;y(0)=1:
1\cdot\sin0 + 0^2 e^1 - 1 = -1 \;\Rightarrow\; C=-1.

Resposta

A solução implícita com a condição inicial é
\boxed{y\sin x + x^2 e^y - y = -1.}
O intervalo de definição é todo aberto em torno de x=0 em que \displaystyle \sin x + x^2 e^{y(x)} -1\neq 0,
garantindo pelo Teorema de Existência e Unicidade que existe única solução y(x) num intervalo (-\delta,\delta) contendo 0.

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