Nas questōes abaixo, determine a solução juntamente com seu intervalo de definição.
[2,5 pontos] Resolva a equação diferencial ordinária, utilizando o método das equações homogêneas, dada por
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x-x y d y=0
\operatorname{com} x>0$.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
(x^{2}+y^{2})\,dx - x y\,dy = 0
no método das equações homogêneas, sabendo que x>0. Vamos reconhecer que tanto x^{2}+y^{2} quanto x y são funções homogêneas de grau 2 em (x,y), o que justifica usar a substituição
y = u x,\quad x>0.

Passo 2

Rewrite a equação como
\frac{dy}{dx} =\frac{x^{2}+y^{2}}{x y} =\frac{x^{2}+u^{2}x^{2}}{x\,(u x)} =\frac{1+u^{2}}{u}.
Por outro lado, como y=ux temos
\frac{dy}{dx} =u + x\frac{du}{dx}.
Igualando as duas expressões,
u + x\frac{du}{dx} =\frac{1+u^{2}}{u} \quad\Longrightarrow\quad x\frac{du}{dx} =\frac{1+u^{2}}{u}-u =\frac{1}{u}.

Passo 3

Separe variáveis em
u\,du = \frac{dx}{x}
e integre:
\int u\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^{2}}{2} = \ln|x| + C.
Como x>0, \ln|x|=\ln x. Multiplicando por 2 e retornando u=y/x, obtém-se
u^{2} = 2\ln x + C_{1} \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} = 2\ln x + C_{1}.

Passo 4

Escrevendo a solução em forma implícita final:
y^{2} = x^{2}\,\bigl(2\ln x + C_{1}\bigr),
com x>0. Para y real, precisamos que 2\ln x + C_{1}\ge0. Portanto o intervalo de definição máximo está em
I = \{\,x>0 \mid 2\ln x + C_{1}>0\},
ou seja,
0<x<e^{-C_{1}/2} \quad\text{ou}\quad x>e^{-C_{1}/2},
dependendo da constante C_{1}.

Resposta

y^{2} = x^{2}\,\bigl(2\ln x + C\bigr), \quad x>0,
com o intervalo de definição dado por
\{\,x>0 \mid 2\ln x + C>0\},
isto é, 0<x<e^{-C/2} ou x>e^{-C/2}.

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