Nas questōes abaixo, determine a solução juntamente com seu intervalo de definição.
[2,5 pontos] Resolva a equação diferencial ordinária, utilizando o método das equações homogêneas, dada por
\operatorname{com} x>0$.
[2,5 pontos] Resolva a equação diferencial ordinária, utilizando o método das equações homogêneas, dada por
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
no método das equações homogêneas, sabendo que
. Vamos reconhecer que tanto
quanto
são funções homogêneas de grau 2 em
, o que justifica usar a substituição
Passo 2
Rewrite a equação como
Por outro lado, como
temos
Igualando as duas expressões,
Passo 3
Separe variáveis em
e integre:
Como
,
. Multiplicando por 2 e retornando
, obtém-se
Passo 4
Escrevendo a solução em forma implícita final:
com
. Para
real, precisamos que
. Portanto o intervalo de definição máximo está em
ou seja,
dependendo da constante
.
Resposta
com o intervalo de definição dado por
isto é,
ou
.