Nas questões de 1 a 4, considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{\operatorname{sen} x-\operatorname{sen} y}{\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} y}
a) A função f é diferenciável no ponto ( 0,0 )? (Justifique!)
b) Seja h(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)), com
x(u, v)=1+u^{2} \quad \text { e } \quad y(u, v)=1+v^{2} .
Determine, usando a regra da cadeia, \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{\sin x-\sin y}{\sin x+\sin y}
e pede duas coisas:
a) Verificar se f é diferenciável no ponto (0,0) (com justificativa).
b) Seja h(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) com
x(u,v)=1+u^{2},\qquad y(u,v)=1+v^{2}.
Usando a regra da cadeia, determinar \dfrac{\partial h}{\partial u} e \dfrac{\partial h}{\partial v}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão de f(x,y) envolve uma fração cuja denominação é \sin x+\sin y.
  • O ponto onde se pergunta sobre diferenciabilidade é (0,0).
  • As funções x(u,v) e y(u,v) são suaves (polinomiais) e satisfazem x(0,0)=1, y(0,0)=1.

Passo 2

Primeiro passo lógico para (a): checar se f está sequer definida em (0,0). Avaliando o denominador em (0,0) obtém-se
\sin 0+\sin 0 = 0+0 = 0.
Portanto a fórmula dada para f não fornece um valor em (0,0); ou seja, f não está definida em (0,0) pela expressão dada. Para verificar se existe uma extensão contínua (e então diferenciável) em (0,0) é suficiente estudar o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Vamos calcular limites ao longo de duas curvas simples para ver se o limite em (0,0) é único.
  • Aproximando por y=0 com x\to0 (ou seja, pela abscissa):
f(x,0)=\frac{\sin x-\sin 0}{\sin x+\sin 0}=\frac{\sin x}{\sin x}=1\quad\text{para }x\neq0.
Logo
\lim_{x\to0} f(x,0)=1.
  • Aproximando por x=0 com y\to0 (ou seja, pela ordenada):
f(0,y)=\frac{\sin 0-\sin y}{\sin 0+\sin y}=\frac{-\sin y}{\sin y}=-1\quad\text{para }y\neq0.
Logo
\lim_{y\to0} f(0,y)=-1.
Como as duas aproximações dão limites distintos ( 1 e -1), o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe. Portanto não há como estender f continuamente em (0,0) a partir da expressão dada.

Passo 4

Conclusão para (a): diferenciabilidade exige que a função esteja definida no ponto e seja contínua lá. Como f não tem limite (nem valor definido) em (0,0), f não é contínua em (0,0) e, portanto, não é diferenciável em (0,0).

Passo 5

Agora (b). Primeiro uma pequena aula rápida sobre a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis:
Se h(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)) e f tem derivadas parciais em (x,y), então
\frac{\partial h}{\partial u}(u,v)=\frac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial x}{\partial u}(u,v) +\frac{\partial f}{\partial y}(x(u,v),y(u,v))\cdot\frac{\partial y}{\partial u}(u,v),
e uma fórmula análoga para \dfrac{\partial h}{\partial v} trocando u por v. A ideia: pequenas variações em u afetam h via variação de x e de y.

Passo 6

Precisamos das derivadas parciais de f. Vou calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} usando a regra do quociente. Coloco
N(x,y)=\sin x-\sin y,\qquad D(x,y)=\sin x+\sin y,\qquad f=\frac{N}{D}.
Derivando em relação a x:
N_x=\frac{\partial N}{\partial x}=\cos x,\qquad D_x=\frac{\partial D}{\partial x}=\cos x.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{N_x D - N D_x}{D^{2}} =\frac{\cos x\,( \sin x+\sin y) - (\sin x-\sin y)\cos x}{(\sin x+\sin y)^{2}}.
No numerador fatoramos \cos x:
\cos x\big((\sin x+\sin y)-(\sin x-\sin y)\big) =\cos x\big(2\sin y\big)=2\cos x\sin y.
Portanto
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2\cos x\sin y}{(\sin x+\sin y)^{2}}.}
Agora derivada em relação a y:
N_y=\frac{\partial N}{\partial y}=-\cos y,\qquad D_y=\frac{\partial D}{\partial y}=\cos y.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{N_y D - N D_y}{D^{2}} =\frac{-\cos y\,(\sin x+\sin y)-(\sin x-\sin y)\cos y}{(\sin x+\sin y)^{2}}.
No numerador fatoramos \cos y:
\cos y\big(-(\sin x+\sin y)-(\sin x-\sin y)\big) =\cos y\big(-2\sin x\big)=-2\cos y\sin x.
Portanto
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-\frac{2\cos y\sin x}{(\sin x+\sin y)^{2}}.}

Passo 7

Agora aplicamos a regra da cadeia com x(u,v)=1+u^{2}, y(u,v)=1+v^{2}. Primeiro as derivadas de x e y:
\frac{\partial x}{\partial u}(u,v)=2u,\qquad \frac{\partial y}{\partial u}(u,v)=0,
\frac{\partial x}{\partial v}(u,v)=0,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}(u,v)=2v.

Passo 8

Aplicando a fórmula da cadeia:
Para \dfrac{\partial h}{\partial u}:
\frac{\partial h}{\partial u}(u,v) =\frac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v))\cdot 2u +\frac{\partial f}{\partial y}(x(u,v),y(u,v))\cdot 0.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial h}{\partial u}(u,v) =2u\cdot\frac{2\cos(x(u,v))\sin(y(u,v))}{\big(\sin(x(u,v))+\sin(y(u,v))\big)^{2}}.
Voltando x(u,v)=1+u^{2} e y(u,v)=1+v^{2},
\boxed{\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}(u,v) =\frac{4u\cos(1+u^{2})\sin(1+v^{2})}{\big(\sin(1+u^{2})+\sin(1+v^{2})\big)^{2}}.}
Para \dfrac{\partial h}{\partial v}:
\frac{\partial h}{\partial v}(u,v) =\frac{\partial f}{\partial x}(x(u,v),y(u,v))\cdot 0 +\frac{\partial f}{\partial y}(x(u,v),y(u,v))\cdot 2v.
Substituindo \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial h}{\partial v}(u,v) =2v\cdot\left(-\frac{2\cos(y(u,v))\sin(x(u,v))}{\big(\sin(x(u,v))+\sin(y(u,v))\big)^{2}}\right).
Substituindo x(u,v) e y(u,v),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial h}{\partial v}(u,v) =-\frac{4v\sin(1+u^{2})\cos(1+v^{2})}{\big(\sin(1+u^{2})+\sin(1+v^{2})\big)^{2}}.}

Passo 9

Comentário final curto e motivador: note que na vizinhança de (u,v)=(0,0) a soma \sin(1+u^{2})+\sin(1+v^{2}) é próxima de 2\sin 1\neq0, então as expressões acima são bem definidas perto de (0,0); isto explica por que podemos aplicar a regra da cadeia sem problemas aqui (ao contrário do caso (0,0) em (x,y)).

Resposta

a) Não, f não é diferenciável em (0,0).
b) \displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}(u,v)=\frac{4u\cos(1+u^{2})\sin(1+v^{2})}{\big(\sin(1+u^{2})+\sin(1+v^{2})\big)^{2}}
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial v}(u,v)=-\frac{4v\sin(1+u^{2})\cos(1+v^{2})}{\big(\sin(1+u^{2})+\sin(1+v^{2})\big)^{2}}

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