Nas questões de 1 a 4, considere
, com
a) A função
é diferenciável no ponto ( 0,0 )? (Justifique!)
b) Seja
, com
Determine, usando a regra da cadeia,
e
.
b) Seja
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
a) Verificar se
é diferenciável no ponto
(com justificativa).
b) Seja
com
Usando a regra da cadeia, determinar
e
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão de
envolve uma fração cuja denominação é . - O ponto onde se pergunta sobre diferenciabilidade é
. - As funções
e são suaves (polinomiais) e satisfazem , .
Passo 2
Primeiro passo lógico para (a): checar se
está sequer definida em
. Avaliando o denominador em
obtém-se
Portanto a fórmula dada para
não fornece um valor em
; ou seja,
não está definida em
pela expressão dada. Para verificar se existe uma extensão contínua (e então diferenciável) em
é suficiente estudar o limite de
quando
.
Passo 3
Vamos calcular limites ao longo de duas curvas simples para ver se o limite em
é único.
- Aproximando por
com (ou seja, pela abscissa):
Logo
- Aproximando por
com (ou seja, pela ordenada):
Logo
Como as duas aproximações dão limites distintos (
e
), o limite de
quando
não existe. Portanto não há como estender
continuamente em
a partir da expressão dada.
Passo 4
Conclusão para (a): diferenciabilidade exige que a função esteja definida no ponto e seja contínua lá. Como
não tem limite (nem valor definido) em
,
não é contínua em
e, portanto, não é diferenciável em
.
Passo 5
Agora (b). Primeiro uma pequena aula rápida sobre a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis:
Se e
tem derivadas parciais em
, então
Se
e uma fórmula análoga para
trocando
por
. A ideia: pequenas variações em
afetam
via variação de
e de
.
Passo 6
Precisamos das derivadas parciais de
. Vou calcular
e
usando a regra do quociente. Coloco
Derivando em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
No numerador fatoramos
:
Portanto
Agora derivada em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
No numerador fatoramos
:
Portanto
Passo 7
Agora aplicamos a regra da cadeia com
,
. Primeiro as derivadas de
e
:
Passo 8
Aplicando a fórmula da cadeia:
Para
:
Substituindo
:
Voltando
e
,
Para
:
Substituindo
:
Substituindo
e
,
Passo 9
Comentário final curto e motivador: note que na vizinhança de
a soma
é próxima de
, então as expressões acima são bem definidas perto de
; isto explica por que podemos aplicar a regra da cadeia sem problemas aqui (ao contrário do caso
em
).
Resposta
a) Não,
não é diferenciável em
.
b)