Nas questões de 6 a 9, considere
, com
Determine se os seguintes limites existem:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar se existe o limite
Informações relevantes dadas:
- A função
está explicitamente dada por uma combinação de exponenciais. - O limite é um limite de duas variáveis quando
tende a . - O que se precisa decidir é se o limite existe (e qual é seu valor) ou se não existe.
Passo 2
Vamos simplificar
para enxergar melhor sua dependência em
e
. Fatore
no numerador e denominador:
Cancelando
nos dois termos obtemos
Ou seja,
Comentário didático: isso mostra que
depende apenas da diferença
, enquanto o denominador do quociente que investigamos depende de
. Já dá pista de que o comportamento pode variar conforme a forma de aproximação a
.
Passo 3
Estratégia para testar existência do limite (explicação didática):
- Em limites de funções de duas variáveis, uma maneira prática de verificar existência é calcular o limite ao longo de diferentes curvas que tendem a
. Se encontrarmos duas curvas com limites diferentes, o limite total não existe. - Aqui vamos testar aproximações ao longo de retas do tipo
com constante (exceto , que anula ). Isso é simples e costuma ser eficaz para detectar dependência direcional.
Passo 4
Considere a reta
com
. Substituindo:
Assim
Passo 5
Usaremos a propriedade (fórmula padrão e fácil de justificar):
Breve justificativa:
, e para
vale
e
, logo
. Alternativamente,
, o que também dá
.
Aplique isso com
. Então, quando
,
Tomando limite
, o primeiro fator tende a
e o segundo fator é constante em
, portanto
Passo 6
Escolha dois valores de
para obter conclusões diferentes:
- Para
(ou seja, aproximando por ) a fórmula dá
- Para
(aproximação por ) a fórmula dá
Como os dois limites direcionais são diferentes (
e
), o limite total quando
não pode existir.
Observação sobre
: na reta
tem-se
e a expressão
fica indefinida ao longo dessa reta (não podemos avaliar diretamente lá). Isso não contradiz a conclusão anterior; basta ter dois caminhos bem definidos que levam a valores distintos para garantir a não existência do limite.
Passo 7
Conclusão final (explicação final e incentivo): encontramos aproximações com resultados distintos, logo o limite não existe. Bom trabalho em acompanhar cada passo — é normal ficar inseguro com limites de duas variáveis, mas testar retas
costuma ser a primeira boa arma no seu arsenal.
Resposta
O limite não existe.