Nas questões de 6 a 9, considere z=f(x, y), com
f(x, y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
Determine se os seguintes limites existem:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x+y}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{e^{x}-e^{y}}{e^{x}+e^{y}}
e pede para determinar se existe o limite
\lim_{\substack{x\to 0\y\to 0}}\frac{f(x,y)}{x+y}.
Informações relevantes dadas:
  • A função f está explicitamente dada por uma combinação de exponenciais.
  • O limite é um limite de duas variáveis quando (x,y) tende a (0,0).
  • O que se precisa decidir é se o limite existe (e qual é seu valor) ou se não existe.

Passo 2

Vamos simplificar f(x,y) para enxergar melhor sua dependência em x e y. Fatore e^{(x+y)/2} no numerador e denominador:
e^{x}-e^{y}=e^{\tfrac{x+y}{2}}\bigl(e^{\tfrac{x-y}{2}}-e^{-\tfrac{x-y}{2}}\bigr)=2e^{\tfrac{x+y}{2}}\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr),
e^{x}+e^{y}=e^{\tfrac{x+y}{2}}\bigl(e^{\tfrac{x-y}{2}}+e^{-\tfrac{x-y}{2}}\bigr)=2e^{\tfrac{x+y}{2}}\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr).
Cancelando 2e^{(x+y)/2} nos dois termos obtemos
f(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)}{\operatorname{cosh}\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)}=\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr).
Ou seja,
\frac{f(x,y)}{x+y}=\frac{\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{x-y}{2}\bigr)}{x+y}.
Comentário didático: isso mostra que f depende apenas da diferença x-y, enquanto o denominador do quociente que investigamos depende de x+y. Já dá pista de que o comportamento pode variar conforme a forma de aproximação a (0,0).

Passo 3

Estratégia para testar existência do limite (explicação didática):
  • Em limites de funções de duas variáveis, uma maneira prática de verificar existência é calcular o limite ao longo de diferentes curvas que tendem a (0,0). Se encontrarmos duas curvas com limites diferentes, o limite total não existe.
  • Aqui vamos testar aproximações ao longo de retas do tipo y=mx com m constante (exceto m=-1, que anula x+y). Isso é simples e costuma ser eficaz para detectar dependência direcional.

Passo 4

Considere a reta y=mx com m\neq -1. Substituindo:
x-y = x - mx = (1-m)x, \qquad x+y = x + mx = (1+m)x.
Assim
\frac{f(x,mx)}{x+mx}=\frac{\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{1-m}{2}x\bigr)}{(1+m)x}.

Passo 5

Usaremos a propriedade (fórmula padrão e fácil de justificar):
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{tanh} t}{t}=1.
Breve justificativa: \operatorname{tanh} t=\dfrac{\operatorname{sinh} t}{\operatorname{cosh} t}, e para t\to 0 vale \operatorname{sinh} t\sim t e \operatorname{cosh} t\sim 1, logo \operatorname{tanh} t\sim t. Alternativamente, \operatorname{tanh}'(0)=\operatorname{sech}^2(0)=1, o que também dá \operatorname{tanh} t=t+o(t).
Aplique isso com t=\dfrac{1-m}{2}x. Então, quando x\to 0,
\frac{\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{1-m}{2}x\bigr)}{(1+m)x} = \left(\frac{\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{1-m}{2}x\bigr)}{\tfrac{1-m}{2}x}\right) \cdot\frac{\tfrac{1-m}{2}x}{(1+m)x}.
Tomando limite x\to 0, o primeiro fator tende a 1 e o segundo fator é constante em x, portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tanh}\!\bigl(\tfrac{1-m}{2}x\bigr)}{(1+m)x} =\frac{1-m}{2(1+m)}.

Passo 6

Escolha dois valores de m para obter conclusões diferentes:
  • Para m=0 (ou seja, aproximando por y=0) a fórmula dá
\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)}{x+0}=\frac{1-0}{2(1+0)}=\frac{1}{2}.
  • Para m=1 (aproximação por y=x) a fórmula dá
\lim_{x\to 0}\frac{f(x,x)}{x+x}=\frac{1-1}{2(1+1)}=0.
Como os dois limites direcionais são diferentes ( \tfrac{1}{2} e 0), o limite total quando (x,y)\to(0,0) não pode existir.
Observação sobre m=-1: na reta y=-x tem-se x+y=0 e a expressão \dfrac{f(x,y)}{x+y} fica indefinida ao longo dessa reta (não podemos avaliar diretamente lá). Isso não contradiz a conclusão anterior; basta ter dois caminhos bem definidos que levam a valores distintos para garantir a não existência do limite.

Passo 7

Conclusão final (explicação final e incentivo): encontramos aproximações com resultados distintos, logo o limite não existe. Bom trabalho em acompanhar cada passo — é normal ficar inseguro com limites de duas variáveis, mas testar retas y=mx costuma ser a primeira boa arma no seu arsenal.

Resposta

O limite não existe.

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