Nas questões de 5 a 8 determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada para o valor indicado.
x^2 * y^3 - 2 * x * y = 6 * x + y + 1 ; x = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação no ponto onde . Isso significa que a gente vai precisar usar derivada implícita para achar a inclinação da reta tangente naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o valor de quando . Substituindo na equação:
Então, o ponto de interesse é .

Passo 3

Agora, vamos derivar a equação de forma implícita em relação a . Lembre-se que é uma função de , então teremos que usar a regra do produto e a regra da cadeia quando derivarmos termos que envolvem .
Derivando cada termo:
Então, colocando tudo na equação derivada:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatorando :

Passo 5

Agora, isolamos :
Vamos substituir e na expressão:

Resposta

O coeficiente angular da reta tangente é .

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