Questões gerais misturando todas as propriedades:
\log _{2}\left(4 \cdot 8^{2}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \log_{2}\left(4\cdot 8^{2}\right).
Informações dadas: o logaritmo tem base 2 e o argumento é o produto de 4 por 8^{2}. Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Conceito básico de logaritmo (mini-aula).
Por definição, \log_{a} b é o expoente x tal que a^{x}=b. Ou seja, se \log_{a} b = x, então a^{x}=b. Exemplo simples: \log_{2}8=3 porque 2^{3}=8. Aqui a é a base do logaritmo, b é o número cujo log estamos calculando, e x é o resultado (expoente).

Passo 3

Propriedades de logaritmos e potências que vamos usar (mini-aula).
  1. Produto dentro do logaritmo:
\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y,
ou seja, o log de um produto é a soma dos logs.
2) Potência dentro do logaritmo:
\log_{a}(x^{k})=k\log_{a}x,
ou seja, o expoente sai multiplicando o log.
3) Log de uma potência da própria base:
\log_{a}(a^{k})=k,
pois a^{k} é exatamente a definição de k como expoente. Em todas essas fórmulas a é a base (positiva e diferente de 1), x,y>0 e k é um número real.

Passo 4

Reescrever os números 4 e 8 como potências da base 2 (truque muito útil).
Observação: 4 é 2 elevado a 2, porque 2^{2}=4. Logo
4=2^{2}.
Observação: 8 é 2 elevado a 3, porque 2^{3}=8. Logo
8=2^{3}.

Passo 5

Calcular 8^{2} usando a representação como potência de 2 (regra de potências).
Primeiro escrevemos
8^{2}=(2^{3})^{2}.
Regra de potências composta: (a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}. Aplicando, temos
(2^{3})^{2}=2^{3\cdot 2}=2^{6}.

Passo 6

Calcular o produto 4\cdot 8^{2} como potência de 2 (regra do produto de potências).
Usando 4=2^{2} e o resultado anterior 8^{2}=2^{6}, temos
4\cdot 8^{2}=2^{2}\cdot 2^{6}.
Regra de potências com mesma base: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Aplicando,
2^{2}\cdot 2^{6}=2^{2+6}=2^{8}.

Passo 7

Aplicar a definição de logaritmo à potência encontrada.
Já que 4\cdot 8^{2}=2^{8}, temos
\log_{2}\left(4\cdot 8^{2}\right)=\log_{2}\left(2^{8}\right).
Pela propriedade \log_{a}(a^{k})=k, o valor do logaritmo é 8.
(Alternativa — mesma conta via propriedades dos logs: \log_{2}(4\cdot8^{2})=\log_{2}4+\log_{2}8^{2}=\log_{2}4+2\log_{2}8=2+2\cdot 3=8.)

Resposta

8

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