Questões gerais misturando todas as propriedades:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o valor de
.
Informações dadas: o logaritmo tem base e o argumento é o produto de
por
. Não há imagens ou dados adicionais.
Informações dadas: o logaritmo tem base
Passo 2
Conceito básico de logaritmo (mini-aula).
Por definição, é o expoente
tal que
. Ou seja, se
, então
. Exemplo simples:
porque
. Aqui
é a base do logaritmo,
é o número cujo log estamos calculando, e
é o resultado (expoente).
Por definição,
Passo 3
Propriedades de logaritmos e potências que vamos usar (mini-aula).
- Produto dentro do logaritmo:
ou seja, o log de um produto é a soma dos logs.
2) Potência dentro do logaritmo:
2) Potência dentro do logaritmo:
ou seja, o expoente sai multiplicando o log.
3) Log de uma potência da própria base:
3) Log de uma potência da própria base:
pois
é exatamente a definição de
como expoente. Em todas essas fórmulas
é a base (positiva e diferente de 1),
e
é um número real.
Passo 4
Reescrever os números
e
como potências da base
(truque muito útil).
Observação: é
elevado a
, porque
. Logo
Observação:
Observação:
é
elevado a
, porque
. Logo
Passo 5
Calcular
usando a representação como potência de
(regra de potências).
Primeiro escrevemos
Primeiro escrevemos
Regra de potências composta:
. Aplicando, temos
Passo 6
Calcular o produto
como potência de
(regra do produto de potências).
Usando e o resultado anterior
, temos
Usando
Regra de potências com mesma base:
. Aplicando,
Passo 7
Aplicar a definição de logaritmo à potência encontrada.
Já que , temos
Já que
Pela propriedade
, o valor do logaritmo é
.
(Alternativa — mesma conta via propriedades dos logs: .)
(Alternativa — mesma conta via propriedades dos logs: