Reescreva usando radiciação:
\log _{10} \sqrt[3]{1000}

Passo 1

O enunciado pede para reescrever usando radiciação a expressão \log_{10} \sqrt[3]{1000}. Informações dadas: a base do logaritmo é 10 e o argumento é a raiz cúbica de 1000, escrita como \sqrt[3]{1000}. O objetivo final é simplificar/avaliar essa expressão.

Passo 2

Primeiro lembre que radiciação e potenciação estão relacionadas pela igualdade
\sqrt[3]{a}=a^{1/3},
onde a é o radicando e 1/3 é o expoente fracionário correspondente à raiz cúbica. Aplicando isso ao nosso caso,
\sqrt[3]{1000}=1000^{1/3}.

Passo 3

Agora use uma propriedade dos logaritmos muito útil e fácil de aplicar na prova:
\log_{b}(a^{r})=r\log_{b}a,
onde b é a base do logaritmo, a é o argumento e r é um número real (o expoente). Explicação curta do porquê: se \log_{b}a=y então a=b^{y} e a^{r}=(b^{y})^{r}=b^{ry}; assim \log_{b}(a^{r})=ry=r\log_{b}a.

Passo 4

Aplique a propriedade do passo anterior com b=10, a=1000 e r=1/3:
\log_{10}\bigl(1000^{1/3}\bigr)=\frac{1}{3}\log_{10}1000.

Passo 5

Agora calcule \log_{10}1000. Por definição, \log_{10}1000=x significa 10^{x}=1000. Observando que 1000=10^{3}, concluímos que
\log_{10}1000=3.

Passo 6

Substitua o valor encontrado no passo 4:
\frac{1}{3}\log_{10}1000=\frac{1}{3}\cdot 3=1.

Passo 7

Checagem alternativa (rápida): \sqrt[3]{1000}=10, então \log_{10}\sqrt[3]{1000}=\log_{10}10=1, que confirma o resultado.

Resposta

1

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