Combine produto, quociente e potência:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor de
.
Informações dadas: a expressão dentro do log é e a base do logaritmo é
. Não há outras informações.
Informações dadas: a expressão dentro do log é
Passo 2
O que significa uma expressão do tipo
? Aqui vai uma explicação direta e prática:
significa que a base
elevada a
dá
. Em símbolos,
Explicando as letras:
é a base (aqui
),
é o argumento do logaritmo (aqui
) e
é o resultado que queremos achar. Exemplo rápido:
porque
.
Passo 3
Existem três propriedades fundamentais de logaritmos que vamos usar (vou escrever e explicar cada uma):
isso é a propriedade do produto: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos. A ideia por trás é que se
e
, então
e portanto
.
isso é a propriedade do quociente: o logaritmo de uma razão é a diferença dos logaritmos. Vem da mesma ideia usando expoentes:
.
isso é a propriedade da potência: o logaritmo de uma potência traz o expoente para frente como fator. Vem de
.
Vou aplicar essas propriedades ou derivá-las quando necessário. Elas valem para
,
e
.
Passo 4
Observação útil: os números
,
e
são potências da base
. Escrever números na mesma base do logaritmo costuma simplificar muito. Escrevemos:
Isso eu peguei diretamente dos valores numéricos conhecidos:
,
.
Passo 5
Substituo essas potências na expressão dentro do logaritmo:
Agora uso as regras de potências: multiplicar potências de mesma base soma expoentes; dividir subtrai expoentes. Então
Expliquei: ao multiplicar
por
somamos
; ao dividir por
subtraímos
.
Passo 6
Agora a expressão do logaritmo ficou muito simples:
Pela definição de logaritmo (ou pela propriedade da potência do logaritmo), sabemos que
Porque
: a base
elevada a
dá
, logo o logaritmo de
na base
é
.
Passo 7
Verificação numérica rápida (só para confirmar):
, então
pergunta “3 elevado a que dá 81?” e a resposta é
. Tudo consistente.