Combine produto, quociente e potência:
\log _{3}\left(\frac{9 \cdot 27}{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor de \log_{3}\left(\frac{9\cdot27}{3}\right).
Informações dadas: a expressão dentro do log é \frac{9\cdot27}{3} e a base do logaritmo é 3. Não há outras informações.

Passo 2

O que significa uma expressão do tipo \log_{b}(A)? Aqui vai uma explicação direta e prática: \log_{b}(A)=C significa que a base b elevada a C A. Em símbolos,
\log_{b}(A)=C \quad\Longleftrightarrow\quad b^{C}=A.
Explicando as letras: b é a base (aqui b=3), A é o argumento do logaritmo (aqui A=\frac{9\cdot27}{3}) e C é o resultado que queremos achar. Exemplo rápido: \log_{10}(100)=2 porque 10^{2}=100.

Passo 3

Existem três propriedades fundamentais de logaritmos que vamos usar (vou escrever e explicar cada uma):
\log_{b}(XY)=\log_{b}X+\log_{b}Y,
isso é a propriedade do produto: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos. A ideia por trás é que se X=b^{x} e Y=b^{y}, então XY=b^{x+y} e portanto \log_{b}(XY)=x+y=\log_{b}X+\log_{b}Y.
\log_{b}\!\left(\frac{X}{Y}\right)=\log_{b}X-\log_{b}Y,
isso é a propriedade do quociente: o logaritmo de uma razão é a diferença dos logaritmos. Vem da mesma ideia usando expoentes: \frac{b^{x}}{b^{y}}=b^{x-y}.
\log_{b}(X^{k})=k\log_{b}X,
isso é a propriedade da potência: o logaritmo de uma potência traz o expoente para frente como fator. Vem de (b^{x})^{k}=b^{kx}.
Vou aplicar essas propriedades ou derivá-las quando necessário. Elas valem para b>0, b\neq1 e X,Y>0.

Passo 4

Observação útil: os números 9, 27 e 3 são potências da base 3. Escrever números na mesma base do logaritmo costuma simplificar muito. Escrevemos:
9=3^{2},\qquad 27=3^{3},\qquad 3=3^{1}.
Isso eu peguei diretamente dos valores numéricos conhecidos: 3^{2}=9, 3^{3}=27.

Passo 5

Substituo essas potências na expressão dentro do logaritmo:
\frac{9\cdot27}{3}=\frac{3^{2}\cdot 3^{3}}{3^{1}}.
Agora uso as regras de potências: multiplicar potências de mesma base soma expoentes; dividir subtrai expoentes. Então
\frac{3^{2}\cdot 3^{3}}{3^{1}}=3^{2+3-1}=3^{4}.
Expliquei: ao multiplicar 3^{2} por 3^{3} somamos 2+3; ao dividir por 3^{1} subtraímos 1.

Passo 6

Agora a expressão do logaritmo ficou muito simples:
\log_{3}\left(\frac{9\cdot27}{3}\right)=\log_{3}\left(3^{4}\right).
Pela definição de logaritmo (ou pela propriedade da potência do logaritmo), sabemos que
\log_{3}\left(3^{4}\right)=4.
Porque \log_{b}(b^{k})=k: a base b elevada a k b^{k}, logo o logaritmo de b^{k} na base b é k.

Passo 7

Verificação numérica rápida (só para confirmar): 3^{4}=81, então \log_{3}(81) pergunta “3 elevado a que dá 81?” e a resposta é 4. Tudo consistente.

Resposta

\,4\,

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