Questões sobre integrais triplas: \iiint_{G} x^{2} d V, sendo G : delimitado pelo cilindro x^{2}+z^{2}=4 e plano 1 \leq y \leq 2
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral tripla \iiint_{G} x^{2}\,dV, onde o domínio G é descrito pelas condições dadas no enunciado. Vamos listar o que temos explicitamente:
A região G é delimitada pelo cilindro \;x^{2}+z^{2}=4\; — isto significa que, em qualquer plano paralelo a y, a projeção da região é o círculo de raio 2 no plano xz.
A região é limitada pelos planos \;1 \leq y \leq 2\;.
A integral que queremos calcular é \displaystyle \iiint_{G} x^{2}\,dV.
Até aqui: sabemos a forma geométrica de G (um cilindro reto de raio 2 estendido ao longo do eixo y entre y=1 e y=2) e sabemos a função a integrar (x^{2}). A próxima etapa é escolher um método conveniente para calcular essa integral.
Passo 2
Escolha do sistema de coordenadas e por que. Vou usar coordenadas cilíndricas porque a superfície lateral que descreve G é exatamente um cilindro com equação \;x^{2}+z^{2}=4\;, e em coordenadas cilíndricas essa equação fica simples (r= constante). Em geral, quando o domínio é simétrico em torno do eixo vertical (aqui o eixo y), coordenadas cilíndricas simplificam muito o cálculo.
Breve explicação do conceito: em coordenadas cilíndricas introduzimos variáveis \;r,\theta,y\; com as relações
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad y = y,
onde r\ge 0 é a distância radial no plano xz e \theta é o ângulo no plano xz. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dy,
porque existe um fator jacobiano r que mede a expansão de área quando passamos de (x,z) para (r,\theta). É importante entender que esse r vem da transformação de coordenadas — você sempre deve multiplicar pelo jacobiano ao trocar de variáveis.
Passo 3
Escrever a integral na nova parametrização. Vamos reescrever a função a integrar \;x^{2}\; em termos de \;r e \theta:
x^{2} = (r\cos\theta)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta.
O elemento de volume é \;dV = r\,dr\,d\theta\,dy\;. Logo o integrando total fica
Separar integrais independentes. Note que o integrando r^{3}\cos^{2}\theta separa em um fator que depende só de r e outro que depende só de \theta, e a variável y não aparece no integrando. Portanto podemos separar a integral em produto de integrais:
\int_{y=1}^{2} dy \;\cdot\; \int_{\theta=0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta \;\cdot\; \int_{r=0}^{2} r^{3}\,dr.
Isto é válido porque os intervalos são independentes e o integrando é produto de funções de variáveis distintas.