Questões sobre integrais triplas:
\iiint_{G} x^{2} d V, sendo G : delimitado pelo cilindro x^{2}+z^{2}=4 e plano 1 \leq y \leq 2

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral tripla \iiint_{G} x^{2}\,dV, onde o domínio G é descrito pelas condições dadas no enunciado. Vamos listar o que temos explicitamente:
  • A região G é delimitada pelo cilindro \;x^{2}+z^{2}=4\; — isto significa que, em qualquer plano paralelo a y, a projeção da região é o círculo de raio 2 no plano xz.
  • A região é limitada pelos planos \;1 \leq y \leq 2\;.
  • A integral que queremos calcular é \displaystyle \iiint_{G} x^{2}\,dV.
Até aqui: sabemos a forma geométrica de G (um cilindro reto de raio 2 estendido ao longo do eixo y entre y=1 e y=2) e sabemos a função a integrar ( x^{2}). A próxima etapa é escolher um método conveniente para calcular essa integral.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e por que. Vou usar coordenadas cilíndricas porque a superfície lateral que descreve G é exatamente um cilindro com equação \;x^{2}+z^{2}=4\;, e em coordenadas cilíndricas essa equação fica simples ( r= constante). Em geral, quando o domínio é simétrico em torno do eixo vertical (aqui o eixo y), coordenadas cilíndricas simplificam muito o cálculo.
Breve explicação do conceito: em coordenadas cilíndricas introduzimos variáveis \;r,\theta,y\; com as relações
x = r\cos\theta,\qquad z = r\sin\theta,\qquad y = y,
onde r\ge 0 é a distância radial no plano xz e \theta é o ângulo no plano xz. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dy,
porque existe um fator jacobiano r que mede a expansão de área quando passamos de (x,z) para (r,\theta). É importante entender que esse r vem da transformação de coordenadas — você sempre deve multiplicar pelo jacobiano ao trocar de variáveis.

Passo 3

Escrever a integral na nova parametrização. Vamos reescrever a função a integrar \;x^{2}\; em termos de \;r e \theta:
x^{2} = (r\cos\theta)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta.
O elemento de volume é \;dV = r\,dr\,d\theta\,dy\;. Logo o integrando total fica
x^{2}\,dV = r^{2}\cos^{2}\theta \cdot r\,dr\,d\theta\,dy = r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dy.

Passo 4

Determinar os limites de integração na ordem escolhida. Observando a geometria:
  • O raio do cilindro é 2, portanto \;0 \le r \le 2\;.
  • Como o cilindro é todo o círculo em torno do eixo, \;\theta percorre toda a volta, \;0 \le \theta \le 2\pi\;.
  • O eixo y está limitado pelos planos dados, \;1 \le y \le 2\;.
Assim a integral tripla torna-se
\iiint_{G} x^{2}\,dV = \int_{y=1}^{2}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta\,dy.

Passo 5

Separar integrais independentes. Note que o integrando r^{3}\cos^{2}\theta separa em um fator que depende só de r e outro que depende só de \theta, e a variável y não aparece no integrando. Portanto podemos separar a integral em produto de integrais:
\int_{y=1}^{2} dy \;\cdot\; \int_{\theta=0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta \;\cdot\; \int_{r=0}^{2} r^{3}\,dr.
Isto é válido porque os intervalos são independentes e o integrando é produto de funções de variáveis distintas.

Passo 6

Calcular cada integral simples passo a passo.
  1. Integral em y:
\int_{y=1}^{2} dy = 2-1 = 1.
  1. Integral em r:
\int_{0}^{2} r^{3}\,dr = \left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} - 0 = \frac{16}{4} = 4.
  1. Integral em \theta: usar identidade \cos^{2}\theta = \dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}. Assim
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A primeira parte é \dfrac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi. A segunda parte é zero porque \cos(2\theta) tem média zero em um período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta = 0.
Portanto
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 7

Juntar tudo: multiplicamos os três resultados obtidos:
\iiint_{G} x^{2}\,dV = \left(\int_{1}^{2}dy\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2}r^{3}\,dr\right) = 1 \cdot \pi \cdot 4 = 4\pi.

Resposta

4\pi

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