Nas questões 8 e 9 utilize a lei do resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é,
d Td t=k[Ta m b-T(t)]
onde T(t) é a temperatura do objeto no instante de tempo t, Ta m b é a temperatura do ambiente e k é o coeficiente de transferência de calor.
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100^circ F em um quarto com temperatura constante de 0^circ F. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de 50^circ F, determine:
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de 25^circ F.
R. 40 min

Passo 1

O enunciado pede para usar a lei do resfriamento de Newton, dada por dTdt=kl(Tamb-T(t)r), com Tamb=0,^circF, condição inicial T(0)=100,^circF e T(20)=50,^circF. Queremos o tempo para T(t)=25,^circF.

Passo 2

Como Tamb=0, a equação fica dTdt=-kT. Esta é uma EDO separável. Separamos variáveis:
dTT=-k,dt

Passo 3

Integramos dos dois lados:
integraldTT=integral -k,dtLongrightarrowln|T|=-kt+C

Passo 4

Exponenciando, obtemos a solução geral
T(t)=C1e^-kt, C1=e^C

Passo 5

Usando a condição inicial T(0)=100, temos
100=C1e^0Longrightarrow C1=100

Passo 6

Logo
T(t)=100e^-kt

Passo 7

Agora usamos T(20)=50 para achar k:
50=100e^-20kLongrightarrow e^-20k=0.5

Passo 8

Tomando ln de ambos os lados:
-20k=ln(0.5)=-ln2Longrightarrow k=ln220

Passo 9

Para encontrar o tempo em que T(t)=25, resolvemos
25=100e^-ktLongrightarrow e^-kt=0.25

Passo 10

Tomando ln:
-kt=ln(0.25)=-ln4Longrightarrow t=ln4k

Passo 11

Substituindo k=tfracln220 e ln4=2ln2, vem
t=2ln2(ln2)/20=2times20=40 minutos

Resposta

40 minutos

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