Nas questões 8 e 9 utilize a lei do resfriamento de Newton: A taxa de variação da temperatura de um corpo ou objeto sem fonte de calor própria é proporcional à diferença da temperatura do ambiente e do corpo. Isto é,
onde
é a temperatura do objeto no instante de tempo
é a temperatura do ambiente e
é o coeficiente de transferência de calor.
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de
em um quarto com temperatura constante de
. Se, após 20 min , a temperatura da barra é de
, determine:
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de
.
R. 40 min
Coloca-se uma barra de metal à temperatura de
(a) O tempo necessário para que a barra chegue à temperatura de
R. 40 min
Passo 1
O enunciado pede para usar a lei do resfriamento de Newton, dada por
, com
, condição inicial
e
. Queremos o tempo para
.
Passo 2
Como
, a equação fica
. Esta é uma EDO separável. Separamos variáveis:
Passo 3
Integramos dos dois lados:
Passo 4
Exponenciando, obtemos a solução geral
Passo 5
Usando a condição inicial
, temos
Passo 6
Logo
Passo 7
Agora usamos
para achar
:
Passo 8
Tomando ln de ambos os lados:
Passo 9
Para encontrar o tempo em que
, resolvemos
Passo 10
Tomando ln:
Passo 11
Substituindo
e
, vem
Resposta
40 minutos