21.6 O nuclídeo { }^{244} \mathrm{Bk} (berquélio 244) decai pela emissão de partículas \alpha, que capturam elétrons e formam átomos de He. A meia-vida da desintegraçāo é de 4,4 \mathrm{~h}. Uma amostra do nuclídeo, com 1,0 \mathrm{mg}, foi colocada numa camara com volume de 1,0 \mathrm{~cm}^{3}, impermeável à radiação \alpha, mas com pequeno orificio com raio de 2,0 \mu \mathrm{~m}. Qual a pressão do hélio na câmara a 298 K , depois de (a) 1,0 \mathrm{~h} e (b) 10 h ?

Passo 1

Temos um nuclídeo {}^{244}\mathrm{Bk} que decai por emissão de \alpha, gerando átomos de hélio numa câmara de volume V=1{,}0\;\mathrm{cm^3}=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{m^3}. A meia-vida é t_{1/2}=4{,}4\;\mathrm h. A câmara é impermeável às partículas \alpha, mas possui um orifício de raio r=2{,}0\;\mu\mathrm m por onde o hélio pode escapar por efusão. Queremos a pressão P do He a T=298\;\mathrm K depois de (a) 1{,}0 h e (b) 10 h.
Conteúdos: decaimento radioativo, vazamento por efusão (teoria cinética dos gases) e equação diferencial para acúmulo do gás.

Passo 2

Calcular dados iniciais do decaimento:
Massa inicial de \mathrm{Bk}: m=1{,}0\;\mathrm{mg}=1{,}0\times10^{-6}\,\mathrm{kg}.
Massa molar M_{\mathrm{Bk}}=244\;\mathrm{g/mol}=0{,}244\;\mathrm{kg/mol}.
Número inicial de núcleos
N_0 = \frac{m}{M_{\mathrm{Bk}}}N_{\mathrm A} = \frac{1{,}0\times10^{-6}}{0{,}244}\times6{,}022\times10^{23} \approx2{,}47\times10^{18}.
Constante de decaimento
\lambda = \frac{\ln2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}6931}{4{,}4\times3600\;\mathrm s} \approx4{,}38\times10^{-5}\;\mathrm s^{-1}.

Passo 3

Calcular constante de vazamento k por efusão:
Área do orifício
A = \pi r^2 = \pi(2{,}0\times10^{-6})^2 \approx1{,}26\times10^{-11}\;\mathrm m^2.
Velocidade média do He
v_{\rm m} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M_{\rm He}}} = \sqrt{\frac{8\cdot8{,}314\cdot298}{\pi\cdot0{,}004}} \approx1{,}26\times10^3\;\mathrm{m/s}.
Segundo a teoria da efusão, a taxa de escape (fração por segundo) é
k = \frac{A\,v_{\rm m}}{4\,V} = \frac{1{,}26\times10^{-11}\times1{,}26\times10^3} {4\times1{,}0\times10^{-6}} \approx3{,}95\times10^{-3}\;\mathrm s^{-1}.

Passo 4

Formular e resolver o balanço de átomos de He:
\frac{dN_{\rm He}}{dt} = \underbrace{\lambda N_{\rm Bk}(t)}_{\text{produção}} \;-\;\underbrace{k\,N_{\rm He}(t)}_{\text{vazamento}}, \quad N_{\rm Bk}(t)=N_0 e^{-\lambda t},\; N_{\rm He}(0)=0.çã
A solução geral é
N_{\rm He}(t) = \frac{\lambda N_0}{k-\lambda}\Bigl(e^{-\lambda t}-e^{-k t}\Bigr).
Como k\gg\lambda e para t\gg1/k o termo e^{-k t} fica desprezível, temos a boa aproximação
N_{\rm He}(t)\approx\frac{\lambda N_0}{k}\,e^{-\lambda t}.

Passo 5

Expressar a pressão do He pela equação de gás ideal:
P(t) = \frac{N_{\rm He}(t)\,k_{\rm B}\,T}{V},
onde k_{\rm B}=1{,}381\times10^{-23}\;\mathrm{J/K}.
Note que k_{\rm B}T/V = \tfrac{R\,T}{N_{\rm A}\,V}. Logo, usando \lambda N_0/k\approx2{,}74\times10^{16} átomos, definimos
C = \frac{k_{\rm B}T}{V} = \frac{1{,}381\times10^{-23}\times298}{1{,}0\times10^{-6}} \approx4{,}11\times10^{-18}\;\mathrm{Pa\cdot m^3/átomo}.á

Passo 6

Calcular para (a) t=1{,}0\;\mathrm h=3600\;\mathrm s:
\lambda t =4{,}38\times10^{-5}\times3600\approx0{,}158, \quad e^{-\lambda t}\approx0{,}854.
N_{\rm He}(1h)\approx2{,}74\times10^{16}\times0{,}854 \approx2{,}34\times10^{16}\;\text{átomos},á
P(1h)=N_{\rm He}(1h)\,C \approx2{,}34\times10^{16}\times4{,}11\times10^{-18} \approx9{,}6\times10^{-2}\;\mathrm{Pa}.

Passo 7

Calcular para (b) t=10\;\mathrm h=36000\;\mathrm s:
\lambda t =4{,}38\times10^{-5}\times36000\approx1{,}58, \quad e^{-\lambda t}\approx0{,}207.
N_{\rm He}(10h)\approx2{,}74\times10^{16}\times0{,}207 \approx5{,}67\times10^{15}\;\text{átomos},á
P(10h)=N_{\rm He}(10h)\,C \approx5{,}67\times10^{15}\times4{,}11\times10^{-18} \approx2{,}3\times10^{-2}\;\mathrm{Pa}.

Resposta

(a) P\approx9{,}6\times10^{-2}\;\mathrm{Pa}
(b) P\approx2{,}3\times10^{-2}\;\mathrm{Pa}

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