25.1a Calcule a freqüência das colisões moleculares, por centímetro quadrado, na superfície de um vaso contendo (a) hidrogénio, (b) propano, a 25^{\circ} \mathrm{C} quando a pressão é de (i) 100 Pa , (ii) 0,10 \mu Torr.

Passo 1

O enunciado pede a frequência de colisões moleculares por centímetro quadrado na superfície de um vaso contendo (a) hidrogénio e (b) propano, à temperatura de 25^{\circ}\mathrm{C} (isto é, T=298\\ \mathrm{K}), para duas pressões: (i) 100\\ \mathrm{Pa} e (ii) 0,10\\ \mu\mathrm{Torr}.
O método baseia–se na teoria cinética dos gases, em que a frequência de colisões por unidade de área é
Z_w \;=\;\frac{1}{4}\,n\,\overline{v},
onde n é a densidade numérica \mathrm{m^{-3}} e \overline{v} é a velocidade média molecular.

Passo 2

Primeiro calculamos a massa de uma molécula e a velocidade média em cada caso. Seja k_B=1,381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K} e N_A=6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Para o hidrogénio \mathrm{H_2}, massa molar 2\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}:
m_{\mathrm{H_2}} = \frac{2\times10^{-3}}{N_A}\approx 3,32\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Para o propano \mathrm{C_3H_8}, massa molar 44\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}:
m_{\mathrm{C_3H_8}} = \frac{44\times10^{-3}}{N_A}\approx 7,31\times10^{-26}\\ \mathrm{kg}.
A velocidade média de Maxwell–Boltzmann é
\overline{v} = \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,m}}.
Substituindo:
\overline{v}_{\mathrm{H_2}} = \sqrt{\frac{8\times1,381\times10^{-23}\times298}{\pi\times3,32\times10^{-27}}} \approx1{,}78\times10^{3}\\ \mathrm{m/s},
\overline{v}_{\mathrm{C_3H_8}} = \sqrt{\frac{8\times1,381\times10^{-23}\times298}{\pi\times7,31\times10^{-26}}} \approx3,79\times10^{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Agora as densidades numéricas para as duas pressões. Da lei dos gases ideais P = n\,k_B\,T, logo
n = \frac{P}{k_B\,T}.
Para (i) P_1=100\\ \mathrm{Pa}:
n_1 = \frac{100}{1,381\times10^{-23}\times298} \approx2,43\times10^{22}\\ \mathrm{m^{-3}}.
Para (ii) P_2=0,10\\ \mu\mathrm{Torr}:
P_2 = 0,10\times10^{-6}\,\mathrm{Torr}\times133,3\,\frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{Torr}} =1,33\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa},
n_2 = \frac{1,33\times10^{-5}}{1,381\times10^{-23}\times298} \approx3,23\times10^{15}\\ \mathrm{m^{-3}}.

Passo 4

Frequência de colisões para o hidrogénio:
Z_{w,\,\mathrm{H_2}} =\frac{1}{4}\,n\,\overline{v}_{\mathrm{H_2}}.
Para P_1:
Z_{w1} = \frac{1}{4}\times2,43\times10^{22}\times1,78\times10^{3} \approx1,08\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}},
que em \mathrm{cm^{-2}s^{-1}} (dividindo por 10^{4}) dá
1,08\times10^{21}\\ \mathrm{colisões/(cm^2\,s)}.õ
Para P_2:
Z_{w2} = \frac{1}{4}\times3,23\times10^{15}\times1,78\times10^{3} \approx1,43\times10^{18}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}} =1,43\times10^{14}\\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.

Passo 5

Frequência de colisões para o propano:
Z_{w,\,\mathrm{C_3H_8}} =\frac{1}{4}\,n\,\overline{v}_{\mathrm{C_3H_8}}.
Para P_1:
Z_{w1} = \frac{1}{4}\times2,43\times10^{22}\times3,79\times10^{2} \approx2,30\times10^{24}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}} =2,30\times10^{20}\\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.
Para P_2:
Z_{w2} = \frac{1}{4}\times3,23\times10^{15}\times3,79\times10^{2} \approx3,07\times10^{17}\\ \mathrm{m^{-2}s^{-1}} =3,07\times10^{13}\\ \mathrm{cm^{-2}s^{-1}}.

Resposta

(a) Hidrogénio
  • P=100\\ \mathrm{Pa}: 1,08\times10^{21}\\ \mathrm{colisões/(cm^2\,s)}õ
  • P=0,10\\ \mu\mathrm{Torr}: 1,43\times10^{14}\\ \mathrm{colisões/(cm^2\,s)}õ
(b) Propano
  • P=100\\ \mathrm{Pa}: 2,30\times10^{20}\\ \mathrm{colisões/(cm^2\,s)}õ
  • P=0,10\\ \mu\mathrm{Torr}: 3,07\times10^{13}\\ \mathrm{colisões/(cm^2\,s)}õ

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