25.3a Calcule a freqüência média das colisōes dos átomos de He com um átomo de Cu na superficie formada pela exposição de um plano (100) no cobre metáli { }^{\mathrm{c} 0 .} O gás está a 80 K e sob pressão de 35 Pa . Os cristais do cobre sāo cúbicos de face centrada, com a aresta da célula unitária medindo 361 pm .

Passo 1

O enunciado pede a frequência média de colisões que átomos de hélio no gás provocam em cada átomo de cobre exposto no plano (100). O conteúdo principal é cinética de gases (fluxo de partículas sobre uma superfície) e densidade superficial de átomos num cristal cúbico de face centrada. Vamos usar:
  1. A teoria cinética: fluxo incidente de moléculas no plano
  2. A densidade superficial de átomos no plano (100) de uma rede fcc

Passo 2

Pela teoria cinética de gases, o fluxo de colisões (número de átomos de He que atingem a área unitária da superfície por segundo) é
F = \frac{n\,\bar v}{4}
onde
n = \frac{P}{k_B\,T}
é a densidade numérica do gás e
\bar v = \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,m}}
é a velocidade média dos átomos de He, com m massa de um átomo de He.

Passo 3

A densidade superficial de átomos de Cu no plano (100) de uma rede fcc de parâmetro de rede a é
N_s = \frac{2}{a^2}
pois cada célula de área a^2 contém (4\times\tfrac14 + 1)=2 átomos.

Passo 4

A frequência de colisões por átomo de Cu é o fluxo dividido pela densidade superficial:
\nu = \frac{F}{N_s} = \frac{\displaystyle \frac{n\,\bar v}{4}}{\displaystyle \frac{2}{a^2}} = \frac{n\,\bar v\,a^2}{8}.
Substituindo n = P/(k_B T) e \bar v
\nu = \frac{P\,a^2}{8\,k_B\,T} \sqrt{\frac{8\,k_B\,T}{\pi\,m}}.

Passo 5

Agora os valores numéricos:
P = 35\\ \mathrm{Pa},\quad T = 80\\ \mathrm K,\quad a = 361\times10^{-12}\\ \mathrm m,
m = \frac{4\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}}{6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}} \approx 6{,}64\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
Calculamos passo a passo:
n = \frac{35}{1{,}380649\times10^{-23}\times80} \approx 3{,}17\times10^{22}\\ \mathrm{m^{-3}},
\bar v = \sqrt{\frac{8\times1{,}380649\times10^{-23}\times80} {\pi\times6{,}64\times10^{-27}}} \approx 6{,}51\times10^2\\ \mathrm{m/s},
\nu = \frac{35\times(361\times10^{-12})^2}{8\times1{,}380649\times10^{-23}\times80} \times6{,}51\times10^2 \approx 3{,}36\times10^5\\ \mathrm{s^{-1}}.

Resposta

A frequência média de colisões é aproximadamente
\nu \approx 3{,}4\times10^{5}\\ \mathrm{s^{-1}}.

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