17.5 Um certo gás se expande no vácuo. Se o sistema for isolado das suas vizinhanças termicamente, sua energia aumenta ou diminui? Sua resposta depende do comportamento ideal ou real do gás? Explique.

Passo 1

O enunciado diz que um gás se expande livremente no vácuo e o sistema está termicamente isolado (
Q=0
). Pergunta‐se se a energia interna U do gás aumenta ou diminui e se isso muda dependendo de ser gás ideal ou real. Para resolver, vamos usar a Primeira Lei da Termodinâmica e as propriedades de U para gases ideais e reais.

Passo 2

Pela Primeira Lei da Termodinâmica temos
\Delta U = Q - W.
Na expansão livre no vácuo não há troca de calor ( Q=0) e não se realiza trabalho de pressão-volume externo ( W=0), logo
\Delta U = 0.

Passo 3

Para um gás ideal vale U=U(T), ou seja, a energia interna depende só da temperatura. Como \Delta U=0 segue que
\Delta T = 0
e portanto o gás ideal não muda de temperatura nem de energia interna.

Passo 4

Para um gás real a energia interna depende de T e de V:
U = U(T,V).
Num processo adiabático e sem trabalho, \Delta U=0 implica
0 = \bigl(\partial U/\partial T\bigr)_V\,\Delta T + \bigl(\partial U/\partial V\bigr)_T\,\Delta V.
Sabendo que (\partial U/\partial T)_V = C_V e
\bigl(\partial U/\partial V\bigr)_T = T\bigl(\partial P/\partial T\bigr)_V \;-\; P,
obtemos
\Delta T = -\,\frac{T(\partial P/\partial T)_V - P}{C_V}\;\Delta V.

Passo 5

Num modelo de van der Waals,
P = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2}, \quad \bigl(\partial P/\partial T\bigr)_V = \frac{R}{V-b},
logo
T\,\frac{R}{V-b} - P = \frac{a}{V^2}>0
e, como \Delta V>0, resulta \Delta T<0. Ou seja, o gás real esfria, mas sua energia interna total permanece constante ( \Delta U=0): parte da energia cinética (temperatura) cai e aumenta a energia potencial de atração.

Resposta

A energia interna não varia ( \Delta U=0), independentemente de ser gás ideal ou real. Porém, no gás ideal isso implica \Delta T=0, enquanto no gás real em geral ocorre resfriamento ( \Delta T<0).

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