Escreva as reações químicas para o aminoácido prolina cujas constantes de equilíbrio são K_{\mathrm{b} 1} e K_{\mathrm{b} 2}. Determine os valores de K_{\mathrm{b} 1} e de K_{\mathrm{b} 2}.

Passo 1

O enunciado pede as reações de hidrólise básica (constantes K_{\mathrm{b}1} e K_{\mathrm{b}2}) para o aminoácido prolina e os valores numéricos dessas constantes. O conteúdo envolve equilibrar as formas ácido–base da prolina e usar a relação entre constantes de dissociação ácida K_{\mathrm{a}1},K_{\mathrm{a}2} e básicas K_{\mathrm{b}1},K_{\mathrm{b}2} via K_{\mathrm{w}}.

Passo 2

Definimos as três espécies relevantes da prolina:
  • \mathrm{H_2P}^+: forma diprotonada (–COOH e –NH _3^+), carga +1.
  • \mathrm{HP}: forma zwitteriônica (–COO ^- e –NH _3^+), carga 0.
  • \mathrm{P}^-: forma deprotonada (–COO ^- e –NH _2), carga –1.

Passo 3

As constantes de dissociação ácida são
\mathrm{H_2P}^+ \rightleftharpoons \mathrm{HP} + \mathrm{H}^+, \quad K_{\mathrm{a}1}
\mathrm{HP} \rightleftharpoons \mathrm{P}^- + \mathrm{H}^+, \quad K_{\mathrm{a}2}
e os valores experimentais para prolina a 25^\circ\mathrm C são aproximadamente
\mathrm{p}K_{\mathrm{a}1}=1{,}99,\quad \mathrm{p}K_{\mathrm{a}2}=10{,}96.

Passo 4

As reações de hidrólise básica definem K_{\mathrm{b}1} e K_{\mathrm{b}2} como
\mathrm{P}^- + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HP} + \mathrm{OH}^-, \quad K_{\mathrm{b}1} = \frac{[\mathrm{HP}]\,[\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{P}^-]}
\mathrm{HP} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_2P}^+ + \mathrm{OH}^-, \quad K_{\mathrm{b}2} = \frac{[\mathrm{H_2P}^+]\,[\mathrm{OH}^-]}{[\mathrm{HP}]}

Passo 5

Usamos a relação \,K_{\mathrm{b}} = \dfrac{K_{\mathrm{w}}}{K_{\mathrm{a}}} com K_{\mathrm{w}}=1{,}0\times10^{-14}. Logo
K_{\mathrm{b}1} = \frac{K_{\mathrm{w}}}{K_{\mathrm{a}2}}, \qquad K_{\mathrm{b}2} = \frac{K_{\mathrm{w}}}{K_{\mathrm{a}1}}.

Passo 6

Calculamos numericamente:
K_{\mathrm{a}1} = 10^{-1{,}99} = 1{,}02\times10^{-2}, \quad K_{\mathrm{a}2} = 10^{-10{,}96} = 1{,}10\times10^{-11}.
K_{\mathrm{b}1} = \frac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}10\times10^{-11}} =9{,}1\times10^{-4}, \quad K_{\mathrm{b}2} = \frac{1{,}0\times10^{-14}}{1{,}02\times10^{-2}} =9{,}8\times10^{-13}.

Resposta

As reações e constantes são:
\mathrm{P}^- + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{HP} + \mathrm{OH}^-, \quad K_{\mathrm{b}1}=9{,}1\times10^{-4}
\mathrm{HP} + \mathrm{H_2O} \rightleftharpoons \mathrm{H_2P}^+ + \mathrm{OH}^-, \quad K_{\mathrm{b}2}=9{,}8\times10^{-13}

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