8.13 A meia-vida do C { }^{14} é 5730 anos. Foi observado que uma amostra colhida para a datação por carbono radioativo continha 56 \% de seu \mathrm{C}^{14} original. Qual era a idade da amostra? (O decaimento radioativo de \mathrm{C}^{14} segue a cinética de primeira ordem.)

Passo 1

O enunciado diz que a meia-vida do \mathrm{C}^{14} é 5730 anos e que a amostra atual contém 56\% do \mathrm{C}^{14} original. Queremos achar o tempo t que satisfaz a cinética de primeira ordem de decaimento radioativo, dada pela fórmula
N(t) = N_0 e^{-k t},
onde k é a constante de decaimento.

Passo 2

Para cinética de primeira ordem, a constante k relaciona-se com a meia-vida t_{1/2} por
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui t_{1/2}=5730 anos, logo
k = \frac{\ln 2}{5730}.

Passo 3

Como a fração restante é N(t)/N_0 = 0,56, usamos
\frac{N(t)}{N_0} = e^{-k t} = 0,56.
Tomando logaritmo natural,
-k\,t = \ln(0,56) \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\,\ln(0,56).

Passo 4

Substituindo k:
t = -\frac{1}{\frac{\ln 2}{5730}}\;\ln(0,56) = -\frac{5730}{\ln 2}\;\ln(0,56).
Agora numericamente:
\ln(0,56)\approx -0,5796, \quad \ln 2\approx 0,6931,
t \approx -\frac{5730}{0,6931}\,(-0,5796) \approx 8265{,}9\times0,5796 \approx 4790\text{ anos}.

Resposta

A amostra tem aproximadamente 4790 anos.

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