22.29 A meia-vida do decaimento radioativo (reação de primeira ordem) do { }^{14} \mathrm{C} é de 5730 anos (há emissāo de raios \beta com a energia de 0,16 \mathrm{MeV} ). Uma amostra arqueológica de madeira tinha apenas 72 \% de { }^{14} \mathrm{C} em relação ao que se encontra nas árvores vivas. Qual a idade da amostra?

Passo 1

O enunciado trata de um decaimento radioativo de primeira ordem, cujo comportamento é dado por
N(t)=N_{0}\,e^{-k\,t}
e informa a meia-vida \,t_{1/2}=5730 anos. A amostra retém apenas 72\% do {}^{14}\mathrm{C} original, isto é, \tfrac{N}{N_{0}}=0,72. Vamos usar também a relação
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}
para determinar a constante de decaimento k.

Passo 2

Da relação entre meia-vida e constante de decaimento, temos
k = \frac{\ln 2}{5730}\,.
Numericamente, \ln 2\approx0,6931, então
k \approx \frac{0,6931}{5730}\approx1,21\times10^{-4}\,\text{ano}^{-1}\,.

Passo 3

Para achar o tempo t que reduz a fração a 0,72, usamos
\frac{N}{N_{0}}=e^{-k\,t}\quad\Longrightarrow\quad t=-\frac{1}{k}\ln(0,72)\,.
Substituindo k\approx1,21\times10^{-4} e \ln(0,72)\approx-0,3285, obtemos
t\approx\frac{0,3285}{1,21\times10^{-4}}\approx2715\\ \text{anos}.

Resposta

A idade da amostra é aproximadamente 2{,}7\times10^{3} anos, ou seja, cerca de 2700 anos.

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