2.5 Qual é a menor quantidade de energia que pode ser emitida por um elétron excitado de um átomo de hidrogênio, caindo de um estado excitado diretamente para o estado n=3 ? Qual é o número quântico n para o estado excitado? Os seres humanos não podem detectar visualmente os fótons emitidos neste processo. Por que não?

Passo 1

O enunciado pergunta, num modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, qual é a menor energia de fóton emitida quando um elétron cai diretamente de um estado excitado para o nível n=3, qual é o valor do número quântico principal n desse estado excitado, e por que os seres humanos não detectam visualmente esse fóton. Vamos usar o conceito de níveis de energia em átomos de hidrogênio e a relação fóton-energia-comprimento de onda.

Passo 2

Em Bohr, a energia do nível n do átomo de hidrogênio é
E_n = -\,\frac{13{,}6\text{ eV}}{n^2}.
A energia do fóton emitido numa transição n_i \to n_f é a diferença
E_{\text{fóton}} = E_{n_i} - E_{n_f} = -\,\frac{13{,}6}{n_i^2} - \Bigl(-\,\frac{13{,}6}{n_f^2}\Bigr) = 13{,}6\biggl(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\biggr)\text{ eV}.ó
No nosso caso, n_f=3.

Passo 3

Para minimizar E_{\text{fóton}}ó mantendo a transição direta para n=3, escolhemos o menor valor possível de n_i>3, isto é, n_i=4. Isso nos dá a menor diferença de energia.
Calculamos então
E_{\text{mín}} = 13{,}6\biggl(\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}\biggr) =13{,}6\bigl(\tfrac{1}{9}-\tfrac{1}{16}\bigr)\text{ eV} =13{,}6\cdot\frac{7}{144}\text{ eV} \approx0{,}661\text{ eV}.í
Em joules,
0{,}661\text{ eV}\times1{,}602\times10^{-19}\frac{\text{J}}{\text{eV}} \approx1{,}06\times10^{-19}\text{ J}.
O comprimento de onda associado é
\lambda = \frac{hc}{E} =\frac{6{,}626\times10^{-34}\,\text{J\cdots}\,\times3{,}00\times10^8\,\text{m/s}} {1{,}06\times10^{-19}\,\text{J}} \approx1{,}88\times10^{-6}\,\text{m} =1880\text{ nm},
que está na faixa do infravermelho.

Passo 4

O olho humano só é sensível à faixa aproximada de 400 a 700 nm (energia de cerca de 1{,}8 a 3{,}1 eV). Como 1880 nm está bem além do vermelho, em infravermelho, esse fóton não é detectado visualmente.

Resposta

Menor energia emitida: 0{,}661\text{ eV} (aprox. 1{,}06\times10^{-19} J).
Número quântico do estado excitado: n=4.
Invisibilidade ao olho humano: o comprimento de onda \approx1880 nm está no infravermelho, fora da faixa visível.

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