(a) Qual é a resolução necessária para uma rede de difração separar comprimentos de onda de 512,23 e 512,26 \mathrm{~nm} ?
(b) Com uma resolução de 10^{4}, qual a proximidade da linha mais próxima a 512,23 \mathrm{~nm} que pode ser resolvida?
(c) Calcule a resolução de quarta ordem de uma rede que possui 8,00 \mathrm{~cm} de comprimento e tem 185 ranhuras / \mathrm{mm}.
(d) Determine o valor da dispersão angular ( \Delta \varphi ) entre os raios de radiação com comprimentos de onda de 512,23 e 512,26 \mathrm{~nm} para a difração de primeira ordem ( n=1 ) e para a difração de ordem 30, em uma rede com 250 ranhuras / \mathrm{mm} \mathrm{e} \varphi=3,0^{\circ}.

Passo 1

O enunciado trata de uma rede de difração e pede (a) a resolução mínima para separar dois comprimentos de onda, (b) dado um valor de resolução R, qual o menor espaçamento em comprimento de onda que se consegue separar em torno de \lambda=512{,}23\:\mathrm{nm}, (c) calcular a resolução de 4ª ordem de uma rede de comprimento físico conhecido e densidade de ranhuras, e (d) achar a separação angular \Delta\varphi entre dois comprimentos de onda vizinhos para ordens n=1 e n=30.
Conteúdo principal: definição de resolução em rede de difração
Precisaremos de
  1. resolução \displaystyle R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=nN, onde n é a ordem e N é o número total de ranhuras iluminadas;
  2. fórmula da dispersão angular local \displaystyle \frac{d\varphi}{d\lambda}=\frac{n}{d\cos\varphi}, com d espaçamento entre ranhuras e \varphi ângulo de difração considerado.

Passo 2

(a) Para separar \lambda_1=512{,}23\:\mathrm{nm} de \lambda_2=512{,}26\:\mathrm{nm} precisamos que
\Delta\lambda=|\lambda_2-\lambda_1|=512{,}26-512{,}23=0{,}03\:\mathrm{nm}.
A resolução mínima exigida é
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda} \quad\text{com}\quad \lambda\approx\frac{512{,}23+512{,}26}{2}=512{,}245\:\mathrm{nm}.
Logo
R =\frac{512{,}245}{0{,}03} \approx1,71\times10^4.

Passo 3

(b) Se a rede tem resolução R=10^4, o menor \Delta\lambda_\text{mín}í que se consegue separar em torno de \lambda=512{,}23\:\mathrm{nm} é
\Delta\lambda_\text{mín} =\frac{\lambda}{R} =\frac{512{,}23}{10^4} =0{,}051223\:\mathrm{nm}.í
Portanto, a linha mais próxima que se pode distinguir de 512{,}23\:\mathrm{nm} estará a \pm0{,}0512\:\mathrm{nm}.

Passo 4

(c) A rede tem comprimento físico L=8{,}00\:\mathrm{cm} e densidade 185 ranhuras/mm. Em milímetros L=80{,}0\:\mathrm{mm}, logo o número total de ranhuras iluminadas é
N =(185\:\mathrm{mm^{-1}})\times(80{,}0\:\mathrm{mm}) =185\times80=14800.
A resolução em n=4 é
R=nN=4\times14800=59200.

Passo 5

(d) A dispersão angular local é
\frac{d\varphi}{d\lambda} =\frac{n}{d\cos\varphi},
onde a separação entre ranhuras é
d=\frac{1}{250\:\mathrm{mm^{-1}}} =0{,}004\:\mathrm{mm} =4\times10^{-6}\:\mathrm{m},
e adota-se \varphi=3{,}0^\circ. Para \Delta\lambda=0{,}03\:\mathrm{nm}=3{,}0\times10^{-11}\:\mathrm{m}:
  • em n=1:
\Delta\phi_1 \approx\frac{1}{d\cos3^\circ}\,\Delta\lambda =\frac{3{,}0\times10^{-11}}{4\times10^{-6}\times\cos3^\circ} \approx7,5\times10^{-6}\:\mathrm{rad}.
  • em n=30:
\Delta\phi_{30} =30\times\Delta\phi_1 \approx30\times7,5\times10^{-6} =2,25\times10^{-4}\:\mathrm{rad}.

Resposta

(a) R\approx1,71\times10^4.
(b) \Delta\lambda_\text{mín}\approx0{,}0512\:\mathrm{nm}í.
(c) R_{n=4}=59200.
(d) \Delta\phi_{n=1}\approx7,5\times10^{-6}\:\mathrm{rad}, \Delta\phi_{n=30}\approx2,25\times10^{-4}\:\mathrm{rad}.

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