電責 Para a sílica fundida, a variação do índice de refração (n) com o comprimento de onda é dada por
\begin{aligned} n^{2}-1= & \frac{(0,6961663) \lambda^{2}}{\lambda^{2}-(0,0684043)^{2}}+\frac{(0,4079426) \lambda^{2}}{\lambda^{2}-(0,1162414)^{2}} \\\ & +\frac{(0,8974794) \lambda^{2}}{\lambda^{2}-(9,896161)^{2}} \end{aligned}
em que \lambda é expresso em \mu \mathrm{m}.
(a) Construa um gráfico de n contra \lambda com pontos nos seguintes comprimentos de onda: 0,2,0,4,0,6,0,8,1,2,3,4,5 e 6 \mu \mathrm{~m}.
(b) A capacidade de um prisma em dispersar comprimentos de onda vizinhos aumenta quando a inclinação (coeficiente angular) d n / d \lambda aumenta. A dispersão da sílica fundida é maior para a luz azul ou para a luz vermelha?

Passo 1

O enunciado fornece a relação de Sellmeier para a sílica fundida, que dá o índice de refração n em função do comprimento de onda \lambda (em \mu\text{m}):
n^{2}-1 =\frac{0,6961663\,\lambda^{2}}{\lambda^{2}-(0,0684043)^{2}} +\frac{0,4079426\,\lambda^{2}}{\lambda^{2}-(0,1162414)^{2}} +\frac{0,8974794\,\lambda^{2}}{\lambda^{2}-(9,896161)^{2}}.
Precisamos (a) calcular n para \lambda=0{,}2,0{,}4,0{,}6,0{,}8,1,2,3,4,5,6\\ \mu\text{m} e traçar o gráfico n\times\lambda, e (b) dizer em qual região (azul ou vermelha) a dispersão é maior, ou seja, onde \bigl|dn/d\lambda\bigr| é maior.

Passo 2

Calculemos numericamente n em cada ponto. Definindo
C_{1}=(0,0684043)^{2},\quad C_{2}=(0,1162414)^{2},\quad C_{3}=(9,896161)^{2},
temos para cada \lambda n=\sqrt{1+\frac{0,6961663\,\lambda^{2}}{\lambda^{2}-C_{1}} +\frac{0,4079426\,\lambda^{2}}{\lambda^{2}-C_{2}} +\frac{0,8974794\,\lambda^{2}}{\lambda^{2}-C_{3}}}\,.
Obtém-se aproximadamente:
\begin{array}{c|cccccccccc} \lambda\\ (\mu\text{m}) & 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}6 & 0{,}8 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\hline n & 1{,}550 & 1{,}470 & 1{,}458 & 1{,}453 & 1{,}450 & 1{,}438 & 1{,}420 & 1{,}389 & 1{,}341 & 1{,}258 \end{array}

Passo 3

Com esses valores, o gráfico n\times\lambda é uma curva decrescente que parte de n\approx1{,}55 em \lambda=0{,}2\\ \mu\text{m} e cai até n\approx1{,}26 em \lambda=6\\ \mu\text{m}. A curva tem inclinação mais acentuada nas menores \lambda, achatando-se à medida que \lambda cresce.

Passo 4

A dispersão é medida por \bigl|dn/d\lambda\bigr|. Estimando diferenças finitas:
\begin{aligned} \frac{\Delta n}{\Delta\lambda}\bigg|_{0{,}2\to0{,}4}&\approx\frac{1{,}470-1{,}550}{0{,}2}=-0{,}40,\\\ \frac{\Delta n}{\Delta\lambda}\bigg|_{1\to2}&\approx\frac{1{,}438-1{,}450}{1}=-0{,}012, \end{aligned}
e em regiões intermediárias o valor absoluto de dn/d\lambda é ainda menor que \,0{,}40. Logo, \bigl|dn/d\lambda\bigr| é muito maior em comprimentos de onda pequenos (azul) do que em comprimentos grandes (vermelho).

Resposta

(a) Gráfico de n decrescente de 1,550 em \lambda=0,2\\ \mu\mathrm{m} até 1,258 em \lambda=6\\ \mu\mathrm{m}, com curva mais íngreme no azul (menores \lambda).
(b) A dispersão da sílica fundida é maior para a luz azul.

Exercícios de Livros Relacionados