Simbolizamos o ácido malônico, CH_{2}\left(CO_{2} H\right)_{2}, por H_{2} M. Determine o pH e as concentrações de H_{2} M, HM^{-}e M^{2-} em cada uma das seguintes soluções:
(b) NaHM 0,100 M.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o ácido diprótico malônico, que simbolizamos por H_{2}M, com as constantes de dissociação
K_{a1}=10^{-2,83}\approx1,48\times10^{-3},\quad K_{a2}=10^{-5,69}\approx2,04\times10^{-6}.
A solução é de sal anfiprotéico \mathrm{NaHM} com concentração total inicial
C_{T}=[HM^{-}]_{0}=0,100\;M.
Precisamos determinar o pH e as concentrações de H_{2}M, HM^{-} e M^{2-}.

Passo 2

Observação: o íon HM^{-} age como base em uma dissociação para H_{2}M e como ácido em uma dissociação para M^{2-}. Em soluções de sais anfiprotéricos, uma boa aproximação para o pH é
\mathrm{pH}=\frac{\mathrm{p}K_{a1}+\mathrm{p}K_{a2}}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula do pH anfiprotérico:
\mathrm{pH} =\frac{2,83+5,69}{2} =4,26 \quad\Longrightarrow\quad [H^{+}]=10^{-4,26}\approx5{,}50\times10^{-5}\;M.

Passo 4

Para obter as concentrações de todas as espécies, usamos as frações molares de um ácido diprótico:
\alpha_{0}=\frac{[H^{+}]^{2}}{[H^{+}]^{2}+K_{a1}[H^{+}]+K_{a1}K_{a2}}, \quad \alpha_{1}=\frac{K_{a1}[H^{+}]}{[H^{+}]^{2}+K_{a1}[H^{+}]+K_{a1}K_{a2}},
\alpha_{2}=\frac{K_{a1}K_{a2}}{[H^{+}]^{2}+K_{a1}[H^{+}]+K_{a1}K_{a2}}.
Calculamos primeiro o denominador:
D=[H^{+}]^{2}+K_{a1}[H^{+}]+K_{a1}K_{a2} \approx(5{,}50\times10^{-5})^{2}+1{,}48\times10^{-3}\cdot5{,}50\times10^{-5}+1{,}48\times10^{-3}\cdot2{,}04\times10^{-6}
\approx3{,}03\times10^{-9}+8{,}14\times10^{-8}+3{,}02\times10^{-9} \approx8{,}75\times10^{-8}.

Passo 5

Agora as frações:
\alpha_{0}=\frac{3{,}03\times10^{-9}}{8{,}75\times10^{-8}}\approx0{,}035, \quad \alpha_{1}=\frac{8{,}14\times10^{-8}}{8{,}75\times10^{-8}}\approx0{,}931, \quad \alpha_{2}=\frac{3{,}02\times10^{-9}}{8{,}75\times10^{-8}}\approx0{,}035.

Passo 6

Finalmente, cada concentração é a fração correspondente vezes C_{T}=0{,}100\;M:
[H_{2}M]=\alpha_{0}C_{T}\approx0{,}035\times0{,}100=3{,}5\times10^{-3}\;M,
[HM^{-}]=\alpha_{1}C_{T}\approx0{,}931\times0{,}100=9{,}31\times10^{-2}\;M,
[M^{2-}]=\alpha_{2}C_{T}\approx0{,}035\times0{,}100=3{,}5\times10^{-3}\;M.

Resposta

pH \approx 4,26 [H_{2}M]\approx3{,}5\times10^{-3}\;M,\quad[HM^{-}]\approx9{,}3\times10^{-2}\;M,\quad[M^{2-}]\approx3{,}5\times10^{-3}\;M.

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