18.6 Os valores da polarização molar da água em fase gasosa, a 100 kPa , determinados por medições de capacitância, aparecem na tabela seguinte em função da temperatura.
T / K 384,3 420,1 444,7 484,1 522,0
P_{m} /\left(\mathrm{cm}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\right) 57,4 53,5 50,1 46,8 43,1
Calcule o momento de dipolo da \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} e a sua polarizabilidade (volumar).

Passo 1

O enunciado fornece valores da polarização molar P_{m} da água gasosa a 100\\ \mathrm{kPa} em função da temperatura T. Queremos obter o momento de dipolo \mu e a polarizabilidade volumar \alpha.
O modelo de Debye para um gás polar diz que
P_{m}\;=\;\frac{N_A\,\alpha}{3\varepsilon_{0}}\;+\;\frac{N_A\,\mu^{2}}{9\,\varepsilon_{0}\,k_{B}}\;\frac{1}{T}
ou seja, podemos escrever
P_{m} \;=\; A\;+\;\frac{B}{T}
com
A \;=\;\frac{N_A\,\alpha}{3\varepsilon_{0}} \quad,\quad B \;=\;\frac{N_A\,\mu^{2}}{9\,\varepsilon_{0}\,k_{B}}.
Para determinar A e B precisamos ajustar uma reta P_{m} versus 1/T.

Passo 2

Calcular \;x_i = 1/T_i\; e \;y_i = P_{m,i} para cada ponto:
\begin{array}{c|c|c} T_i\\ (\mathrm{K}) & x_i = 1/T_i\\ (\mathrm{K}^{-1}) & y_i = P_{m,i}\\ (\mathrm{cm^3/mol})\\hline 384{,}3 & 0{,}002600 & 57{,}4\\\\ 420{,}1 & 0{,}002381 & 53{,}5\\\\ 444{,}7 & 0{,}002249 & 50{,}1\\\\ 484{,}1 & 0{,}002066 & 46{,}8\\\\ 522{,}0 & 0{,}001916 & 43{,}1 \end{array}
Calcule \bar x, \bar y,
S_{xx} = \sum_i (x_i-\bar x)^2 \quad,\quad S_{xy} = \sum_i (x_i-\bar x)(y_i-\bar y).

Passo 3

Usando
B \;=\;\frac{S_{xy}}{S_{xx}} \quad,\quad A \;=\;\bar y \;-\;B\,\bar x
obtemos numericamente
A = 3{,}34\\ \mathrm{cm^3/mol}, \qquad B = 2{,}088\times10^{4}\\ \mathrm{cm^3\,K/mol}.

Passo 4

Da relação A = N_A\alpha/(3\varepsilon_0), isolamos \alpha. Convertemos
A_{\rm SI} = A\times10^{-6}\,\mathrm{m^3/mol}
e usamos
\alpha = \frac{3\,\varepsilon_0\,A_{\rm SI}}{N_A}.
Inserindo \varepsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m} e N_A=6{,}022\times10^{23}, achamos
\alpha \approx 5{,}5\times10^{-30}\,\mathrm{m^3}
(o que em unidades de volume molar é A=3{,}34, \mathrm{cm^3/mol}).

Passo 5

Da relação \;B = N_A\mu^2/(9\varepsilon_0 k_B),
isolamos \mu. Convertemos
B_{\rm SI} = B\times10^{-6}\,\mathrm{m^3\,K/mol}
e usamos
\mu = \sqrt{\frac{9\,\varepsilon_0\,k_B\,B_{\rm SI}}{N_A}}.
Inserindo k_B=1{,}381\times10^{-23}\,\mathrm{J/K}, obtemos
\mu \approx 1{,}13\times10^{-29}\,\mathrm{C\cdot m} \;\approx\;3{,}4\\ \mathrm{D}.

Resposta

Momento de dipolo \displaystyle \mu\approx3{,}4\\ \mathrm{D}.
Polarizabilidade volumar \displaystyle \alpha\approx3{,}34\\ \mathrm{cm^3/mol} (ou \alpha\approx5{,}5\times10^{-30}\\ \mathrm{m^3} por molécula).

Exercícios de Livros Relacionados