Para QUINTA
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma integral que envolve um quociente de polinômios:
O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor essa razão em partes mais simples que a gente sabe integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar o denominador da fração: $ x^{3} + 2x^{2} - 3x $. Vamos fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais.
Podemos fatorar tirando um $ x $ em comum:
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} + 2x - 3 $. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1.
Então, temos:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração original em frações parciais. Queremos expressar:
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum $ x(x + 3)(x - 1) $:
Agora, expandimos os termos do lado direito:
Passo 5
Vamos distribuir $ A $, $ B $ e $ C $:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 7
Primeiro, da terceira equação:
Agora, substituímos $ A $ nas outras equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos:
Vamos somar as duas equações para eliminar $ B $:
Agora, substituímos $ C $ em $ B + C = -\frac{7}{3} $:
Passo 8
Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Para facilitar a integração, vamos reescrever:
Passo 9
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| $, então aplicamos isso a cada termo:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A integral vale: