Para QUINTA
integral 4 x^2+3 x-19x^3+2 x^2-3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A gente precisa resolver uma integral que envolve um quociente de polinômios:
integral 4x^2 + 3x - 19x^3 + 2x^2 - 3x , dx
O conteúdo envolvido aqui é cálculo integral, especificamente a integração de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a decompor essa razão em partes mais simples que a gente sabe integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o denominador da fração: $ x^{3} + 2x^{2} - 3x $. Vamos fatorar esse polinômio para facilitar a decomposição em frações parciais.
Podemos fatorar tirando um $ x $ em comum:
x^3 + 2x^2 - 3x
Agora, vamos fatorar o polinômio quadrático $ x^{2} + 2x - 3 $. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão 2. Esses números são 3 e -1.
Então, temos:
x
Portanto, o denominador fatorado fica:
x^3 + 2x^2 - 3x = x(x^2 + 2x - 3)

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração original em frações parciais. Queremos expressar:
4x^2 + 3x - 19x(x + 3)(x - 1) = Ax + Bx + 3 + Cx - 1
Onde $ A $, $ B $ e $ C $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum $ x(x + 3)(x - 1) $:
A
Agora, expandimos os termos do lado direito:
B

Passo 5

Vamos distribuir $ A $, $ B $ e $ C $:
A
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
B

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B + C = 4 2A - B + 3C = 3 -3A = -19
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 7

Primeiro, da terceira equação:
-3A = -19 Rightarrow A = 193
Agora, substituímos $ A $ nas outras equações:
Da primeira equação:
A
Da segunda equação:
193 + B + C = 4 Rightarrow B + C = 4 - 193 = 123 - 193 = -73
Agora, temos:
2 ( 193 ) - B + 3C = 3 Rightarrow 383 - B + 3C = 3 Rightarrow -B + 3C = 3 - 383 = 93 - 383 = -293
Vamos somar as duas equações para eliminar $ B $:
B + C = -73 -B + 3C = -293
Agora, substituímos $ C $ em $ B + C = -\frac{7}{3} $:
B

Passo 8

Agora que temos os valores de $ A $, $ B $ e $ C $, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
A
Para facilitar a integração, vamos reescrever:
B

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral ( 193 cdot 1x + 23 cdot 1x + 3 - 3 cdot 1x - 1 ) dx = 193 integral 1x dx + 23 integral 1x + 3 dx - 3 integral 1x - 1 dx
Sabemos que a integral de $ \frac{1}{x} $ é $ \ln|x| $, então aplicamos isso a cada termo:
1x
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A integral vale:
193 ln|x| + 23 ln|x + 3| - 3 ln|x - 1| + C

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