Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras, justificando as respostas, isto é, exibindo uma prova nos casos verdadeiros e dando um contraexemplo nos casos falsos. (Atenção: você pode assumir verdadeiras as propriedades de limites vistas em sala de aula.)
(a) Se existem os limites lim x x0 f(x) e lim x x0(f(x)+g(x)), então existe lim x x0 g(x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, conhecendo-se limxto x0f(x) e limxto x0(f(x)+g(x)), podemos concluir que limxto x0g(x) existe. O conteúdo envolve propriedades de limites, em especial a linearidade (soma e diferença).

Passo 2

Observamos que para todo x (dentro do domínio e excluindo x0) vale a identidade
g(x)=l(f(x)+g(x)r)-f(x)

Passo 3

Como por hipótese limxto x0f(x) e limxto x0(f(x)+g(x)) existem (e são finitos), podemos aplicar a propriedade de diferença de limites. Assim,
limxto x0g(x)=limxto x0l(f(x)+g(x)r)-limxto x0f(x),
o que mostra que limxto x0g(x) existe e é igual à diferença dos dois limites dados.

Resposta

Verdadeira

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