Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (j) (Corda percurtida por um martelo convexo) Para e pequeno:
Passo 1
Estamos com a equação da onda utt=c^2uxx em 0 sujeita a condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x) onde g(x) é um ‘martelinho’ centrado em x=a de largura 2de. Para resolver, vamos aplicar o método de separação de variáveis e usar série de Fourier em senos.
Passo 2
Propondo a solução por separação de variáveis u(x,t)=X(x)T(t), obtemos as EDOs X''+lambda X=0 e T''+c^2lambda T=0 com X(0)=X(L)=0. Os autovalores são lambdan=(npi/L)^2 e os autofuncionais Xn(x)=sin(npi x/L), n=1,2,3,dots.
A condição u(x,0)=0 implica An=0 para todo n. A condição ut(x,0)=g(x) dá
sumn=1^infty Bnnpi cLsinl(npi x/Lr)=g(x)
Definimos
Cn=2Lintegral0^L g(x)sinl(npi x/Lr),dx
para obter Bn=Cn/(npi c/L).
Passo 5
Como g(x)=vcosl(pi(x-a)2de em |x-a|<=de e zero fora, substituímos no integral e mudamos a variável xi=x-a. Assim
$$
C_n=\frac{2v}{L}\int_{a-\delta}^{a+\delta}\cos\Bigl(\frac{\pi(x-a)}{2\delta}\Bigr)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)dx