Use o método de separação de variáveis para resolver os seguintes problemas de valor inicial e de fronteira (em alguns problemas, pode ser necessário encontrar antes a solução de (j) (Corda percurtida por um martelo convexo) Para 0 e de0 pequeno:
ll ut t=c^2 ux x & se 00, u(0, t)=u(L, t)=0 & se t >= 0, u(x, 0)=0 & se 0 <= x <= L, ut(x, 0)=g(x) & se 0 <= x <= L, com g(x)= v cos pi(x-a)2 dede

Passo 1

Estamos com a equação da onda utt=c^2uxx em 0 sujeita a condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=0, ut(x,0)=g(x) onde g(x) é um ‘martelinho’ centrado em x=a de largura 2de. Para resolver, vamos aplicar o método de separação de variáveis e usar série de Fourier em senos.

Passo 2

Propondo a solução por separação de variáveis u(x,t)=X(x)T(t), obtemos as EDOs X''+lambda X=0 e T''+c^2lambda T=0 com X(0)=X(L)=0. Os autovalores são lambdan=(npi/L)^2 e os autofuncionais Xn(x)=sin(npi x/L), n=1,2,3,dots.

Passo 3

Logo a forma geral é
u(x,t)=sumn=1^inftyl(Ancos(npi ct/L)+Bnsin(npi ct/L)r)sinl(npi x/Lr)

Passo 4

A condição u(x,0)=0 implica An=0 para todo n. A condição ut(x,0)=g(x)
sumn=1^infty Bnnpi cLsinl(npi x/Lr)=g(x)
Definimos
Cn=2Lintegral0^L g(x)sinl(npi x/Lr),dx
para obter Bn=Cn/(npi c/L).

Passo 5

Como g(x)=vcosl(pi(x-a)2de em |x-a|<=de e zero fora, substituímos no integral e mudamos a variável xi=x-a. Assim
$$
C_n=\frac{2v}{L}\int_{a-\delta}^{a+\delta}\cos\Bigl(\frac{\pi(x-a)}{2\delta}\Bigr)\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)dx

\frac{2v}{L}\int_{-\delta}^{\delta}\cos\Bigl(\frac{\pi\xi}{2\delta}\Bigr)\sin\Bigl(\frac{n\pi(a+\xi)}{L}\Bigr)d\xi.
$$

Passo 6

Usando a identidade sin(alpha+beta)=sinalphacosbeta+cosalphasinbeta e observando que o termo com sin(npixi/L) integra zero por ser ímpar, sobra
Cn=-2vsinl(npi a/Lr)cosl(npide

Passo 7

Por fim, como Bn=Lnpi cCn, a solução do problema fica
boxedu(x,t)=sumn=1^infty Bnsinl(npi cLtr)sinl(npi xLr),
com
Bn=-2vsinl(npi a/Lr)cosl(npide

Resposta

A solução via série de senos é\
u(x,t)=sumn=1^inftygl[-2vsinl(npi a/Lr)cosl(npide

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