Quinta Questão (
pts): Sejam
um campo vetorial continuamente diferenciável definido em
, e
uma superfície limitada. Assinale Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta.
(a) Suponha que
é o campo de velocidades de um fluido, e sua divergência é uma função negativa. Se
é fronteira de uma região sólida
, então há mais fluido saindo de
que entrando em
por unidade de tempo.
(b) Se
não é fechada, podemos usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de
através de
.
(a) Suponha que
(b) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos (pegue essas informações do enunciado):
-
é um campo vetorial continuamente diferenciável em . -
é uma superfície limitada.
-
- Perguntas:
- (a) Supondo que
é campo de velocidades de um fluido e que é uma função negativa (isto é, em todo ponto). Se é a fronteira de uma região sólida , então há mais fluido saindo de que entrando por unidade de tempo? (Pedir para justificar.) - (b) Se
não é fechada, podemos usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de através de ? (Pedir para justificar.)
- (a) Supondo que
Passo 2
Explicação do conceito e fórmula que vou usar para a parte (a): fluxo através de uma superfície fechada e o Teorema da Divergência.
- Definição (intuição): o fluxo de
através de uma superfície orientada pelo vetor normal externo é . Quando é fronteira de um sólido e a normal é a normal exterior, esse integral mede o volume de fluido que sai de por unidade de tempo (positivo se houver saída líquida). - Teorema (Divergência / Gauss): para
uma região sólida com fronteira suave ,
Aqui
é a normal exterior e
é a divergência de
.
Vou explicar o que cada símbolo significa:
-
é o campo de velocidades: em cada ponto dá a velocidade local do fluido. -
é a normal unitária externa à superfície . -
é o fluxo total para fora de . -
é a divergência: função que mede taxa de expansão local (se positiva há criação/saída local; se negativa há compressão/entrada local).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso (a) e interpretando o sinal.
- Pelo enunciado,
para todo em . Então, integrando essa função negativa sobre obtemos um valor negativo:
- Usando o Teorema da Divergência:
- Interpretação física do sinal: como o integral de fluxo
foi calculado com a normal exterior, um valor negativo significa que o fluxo líquido para fora é negativo — isto é, o balanço total é de entrada líquida de fluido em . Em palavras simples: há mais fluido entrando em do que saindo por unidade de tempo.
Passo 4
Um exemplo explícito que ilustra o raciocínio (para fixar a ideia).
- Considere
. Então
ou seja,
em todo lugar.
- Tome
a bola unidade centrada na origem. O volume de é . Então
- O fluxo total para fora é
(negativo), isto é, há fluxo líquido entrando no sólido. Isso contradiz a afirmação que haveria mais fluido saindo do que entrando.
Passo 5
Conclusão parcial sobre (a) (sem usar explicitamente a palavra final): a consequência matemática do Teorema da Divergência com
é que o fluxo total para fora de
é negativo, portanto o balanço é de entrada líquida de fluido em
, e não saída líquida.
Passo 6
Agora abordagem e fórmulas relevantes para a parte (b): enunciado sobre usar o Teorema de Stokes para calcular fluxo através de uma superfície não fechada.
- Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui):
onde
é uma superfície orientada com bordo
,
é a normal escolhida e a orientação do contorno
é dada pela regra da mão direita.
- Observação essencial de interpretação: o lado direito
é o integral de superfície do rotor — isto mede circulação do campo nas proximidades, e o Teorema de Stokes relaciona essa integral de superfície do rotor com a integral de linha (circulação) de ao longo do contorno. Ou seja, Stokes trata circulação/rotacional, não trata diretamente do fluxo normal de .
Passo 7
Mostrando com um contraexemplo simples que Stokes, em geral, não dá o fluxo de
.
- Considere
(campo constante apontando para cima). Tome o disco unitário no plano (normal ) e a circunferência unitária. - O fluxo de
através de é
- Mas
(o rotor de um campo constante é zero). Pelo Teorema de Stokes,
- Logo a aplicação de Stokes dá
(circulação do campo ao longo da borda), enquanto o fluxo de através do disco é . Portanto Stokes não fornece, em geral, o fluxo .
Passo 8
Observação adicional (caso especial) — para não confundir: existe uma situação em que se pode reduzir o cálculo do fluxo de
a uma integral de contorno usando Stokes, mas é uma exceção, não a regra.
- Se o campo
puder ser escrito como (isto é, é um rotor de algum ), então
e aí a integral de linha de
ao longo da borda calcula o fluxo de
. Mas isso exige que
seja um rotor; para um
genérico isso não ocorre. Portanto a declaração geral "se
não é fechada, podemos usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de
" é incorreta sem hipóteses adicionais sobre
.
Resposta
(a) Falso.
(b) Falso.
(b) Falso.