Quinta Questão ( \mathbf{2 , 0} pts): Sejam \vec{F} um campo vetorial continuamente diferenciável definido em \mathbb{R}^{3}, e S uma superfície limitada. Assinale Verdadeiro ou Falso, justificando sua resposta.
(a) Suponha que \vec{F} é o campo de velocidades de um fluido, e sua divergência é uma função negativa. Se S é fronteira de uma região sólida E, então há mais fluido saindo de E que entrando em E por unidade de tempo.
(b) Se S não é fechada, podemos usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de \vec{F} através de S.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegue essas informações do enunciado):
    • \vec{F} é um campo vetorial continuamente diferenciável em \mathbb{R}^3.
    • S é uma superfície limitada.
  • Perguntas:
    • (a) Supondo que \vec{F} é campo de velocidades de um fluido e que \nabla\cdot\vec{F} é uma função negativa (isto é, \nabla\cdot\vec{F}(x)<0 em todo ponto). Se S é a fronteira de uma região sólida E, então há mais fluido saindo de E que entrando por unidade de tempo? (Pedir para justificar.)
    • (b) Se S não é fechada, podemos usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de \vec{F} através de S? (Pedir para justificar.)

Passo 2

Explicação do conceito e fórmula que vou usar para a parte (a): fluxo através de uma superfície fechada e o Teorema da Divergência.
  • Definição (intuição): o fluxo de \vec{F} através de uma superfície orientada pelo vetor normal externo \vec{n} é \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS. Quando S=\partial E é fronteira de um sólido E e a normal é a normal exterior, esse integral mede o volume de fluido que sai de E por unidade de tempo (positivo se houver saída líquida).
  • Teorema (Divergência / Gauss): para E uma região sólida com fronteira suave S=\partial E,
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS \;=\; \iiint_{E} \nabla\cdot\vec{F}\,dV.
Aqui \vec{n} é a normal exterior e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}.
Vou explicar o que cada símbolo significa:
  • \vec{F} é o campo de velocidades: em cada ponto dá a velocidade local do fluido.
  • \vec{n} é a normal unitária externa à superfície S.
  • \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS é o fluxo total para fora de E.
  • \nabla\cdot\vec{F} é a divergência: função que mede taxa de expansão local (se positiva há criação/saída local; se negativa há compressão/entrada local).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso (a) e interpretando o sinal.
  • Pelo enunciado, \nabla\cdot\vec{F}(x)<0 para todo x em E. Então, integrando essa função negativa sobre E obtemos um valor negativo:
\iiint_{E}\nabla\cdot\vec{F}\,dV < 0.
  • Usando o Teorema da Divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{E}\nabla\cdot\vec{F}\,dV < 0.
  • Interpretação física do sinal: como o integral de fluxo \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS foi calculado com a normal exterior, um valor negativo significa que o fluxo líquido para fora é negativo — isto é, o balanço total é de entrada líquida de fluido em E. Em palavras simples: há mais fluido entrando em E do que saindo por unidade de tempo.

Passo 4

Um exemplo explícito que ilustra o raciocínio (para fixar a ideia).
  • Considere \vec{F}(x,y,z) = -x\,\vec{i} - y\,\vec{j} - z\,\vec{k}. Então
\nabla\cdot\vec{F} = -1 + (-1) + (-1) = -3,
ou seja, \nabla\cdot\vec{F}=-3<0 em todo lugar.
  • Tome E a bola unidade centrada na origem. O volume de E é \operatorname{vol}(E)=\dfrac{4}{3}\pi. Então
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iiint_{E}\nabla\cdot\vec{F}\,dV = \iiint_{E}(-3)\,dV = -3\cdot\frac{4}{3}\pi = -4\pi.
  • O fluxo total para fora é -4\pi (negativo), isto é, há fluxo líquido entrando no sólido. Isso contradiz a afirmação que haveria mais fluido saindo do que entrando.

Passo 5

Conclusão parcial sobre (a) (sem usar explicitamente a palavra final): a consequência matemática do Teorema da Divergência com \nabla\cdot\vec{F}<0 é que o fluxo total para fora de E é negativo, portanto o balanço é de entrada líquida de fluido em E, e não saída líquida.

Passo 6

Agora abordagem e fórmulas relevantes para a parte (b): enunciado sobre usar o Teorema de Stokes para calcular fluxo através de uma superfície não fechada.
  • Enunciado do Teorema de Stokes (forma usada aqui):
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} \;=\; \iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS,
onde S é uma superfície orientada com bordo \partial S, \vec{n} é a normal escolhida e a orientação do contorno \partial S é dada pela regra da mão direita.
  • Observação essencial de interpretação: o lado direito \iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS é o integral de superfície do rotor \nabla\times\vec{F} — isto mede circulação do campo nas proximidades, e o Teorema de Stokes relaciona essa integral de superfície do rotor com a integral de linha (circulação) de \vec{F} ao longo do contorno. Ou seja, Stokes trata circulação/rotacional, não trata diretamente do fluxo normal de \vec{F}.

Passo 7

Mostrando com um contraexemplo simples que Stokes, em geral, não dá o fluxo de \vec{F}.
  • Considere \vec{F}(x,y,z) = (0,0,1) (campo constante apontando para cima). Tome S o disco unitário no plano z=0 (normal \vec{n}=(0,0,1)) e \partial S a circunferência unitária.
  • O fluxo de \vec{F} através de S é
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{S} 1\,dS = \operatorname{area}(S) = \pi.
  • Mas \nabla\times\vec{F} = \vec{0} (o rotor de um campo constante é zero). Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_{S} (\nabla\times\vec{F})\cdot\vec{n}\,dS = 0.
  • Logo a aplicação de Stokes dá 0 (circulação do campo ao longo da borda), enquanto o fluxo de \vec{F} através do disco é \pi. Portanto Stokes não fornece, em geral, o fluxo \iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS.

Passo 8

Observação adicional (caso especial) — para não confundir: existe uma situação em que se pode reduzir o cálculo do fluxo de \vec{F} a uma integral de contorno usando Stokes, mas é uma exceção, não a regra.
  • Se o campo \vec{F} puder ser escrito como \vec{F}=\nabla\times\vec{G} (isto é, \vec{F} é um rotor de algum \vec{G}), então
\iint_{S}\vec{F}\cdot\vec{n}\,dS = \iint_{S}(\nabla\times\vec{G})\cdot\vec{n}\,dS = \oint_{\partial S}\vec{G}\cdot d\vec{r},
e aí a integral de linha de \vec{G} ao longo da borda calcula o fluxo de \vec{F}. Mas isso exige que \vec{F} seja um rotor; para um \vec{F} genérico isso não ocorre. Portanto a declaração geral "se S não é fechada, podemos usar o Teorema de Stokes para calcular o fluxo de \vec{F}" é incorreta sem hipóteses adicionais sobre \vec{F}.

Resposta

(a) Falso.
(b) Falso.

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