Terceira Questão (2,5 pts): Calcule
\iint_{S}\left(x^{2} z+y^{2} z\right) d S
onde S da parte do cone de equação z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} que está abaixo do plano z=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}z+y^{2}z\right)\,dS,
onde S é a parte do cone de equação \,z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, que está abaixo do plano \,z=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície S é o cone com vértice na origem e geratriz inclinada, dado por \,z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
  • Estamos considerando apenas a parte desse cone que satisfaz \,z\le 4\,.
  • Ao igualar as superfícies para achar a interseção: \,4=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,. Disto segue que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2 e, em coordenadas polares, o raio máximo é r=2.
  • A função a integrar é x^{2}z+y^{2}z, que pode ser simplificada como z(x^{2}+y^{2}).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
  • Para integrar uma função sobre uma superfície parametrizada \mathbf{R}(u,v), usa-se a fórmula
\iint_{S} f(x,y,z)\,dS = \iint_{D} f\big(\mathbf{R}(u,v)\big)\,\big\|\mathbf{R}_u\times\mathbf{R}_v\big\|\,du\,dv,
onde \mathbf{R}_u e \mathbf{R}_v são as derivadas parciais de \mathbf{R} e \|\mathbf{R}_u\times\mathbf{R}_v\| é a área elemental da superfície em termos dos parâmetros u,v.
  • Aqui é natural usar coordenadas polares (r,\theta) porque a superfície é um cone circular simétrico em torno do eixo z. Assim parametrizamos a superfície pelo raio r e ângulo \theta.
  • Resumo do plano de ataque: parametrizar S por \mathbf{R}(r,\theta), calcular \mathbf{R}_r e \mathbf{R}_\theta, achar \|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\| (que dá dS em termos de dr\,d\theta), substituir a função x^{2}z+y^{2}z na parametrização e calcular a integral dupla em r e \theta com 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi.

Passo 3

Parametrização do cone em coordenadas polares:
  • Em coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • No cone temos z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2r.
  • Portanto a parametrização escolhida é
\mathbf{R}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;2r\big),
com domínios
0\le r\le 2,\qquad 0\le\theta\le 2\pi.
  • Calcule as derivadas parciais:
\mathbf{R}_r=\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial r}=\big(\cos\theta,\;\sin\theta,\;2\big),
\mathbf{R}_\theta=\frac{\partial\mathbf{R}}{\partial\theta}=\big(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0\big).

Passo 4

Cálculo do elemento de área \,dS=\big\|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\big\|\,dr\,d\theta:
  • Calcule o produto vetorial (mostrando componentes):
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \cos\theta & \sin\theta & 2 \\\\ - r\sin\theta & r\cos\theta & 0 \end{vmatrix}.
  • Desenvolvendo o determinante obtemos as componentes
\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta=\big(-2r\cos\theta,\;-2r\sin\theta,\;r\big).
  • O módulo é
\big\|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\big\| = \sqrt{(-2r\cos\theta)^{2}+(-2r\sin\theta)^{2}+r^{2}} = \sqrt{4r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+r^{2}} = \sqrt{5r^{2}}=r\sqrt{5}.
  • Logo
dS = r\sqrt{5}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Expressar o integrando em termos de r,\theta:
  • A função a integrar é x^{2}z+y^{2}z=z(x^{2}+y^{2}).
  • Em polares, x^{2}+y^{2}=r^{2} e z=2r. Assim
x^{2}z+y^{2}z = z\,r^{2} = (2r)\,r^{2}=2r^{3}.
  • Multiplicando pelo elemento de área:
\big(x^{2}z+y^{2}z\big)\,dS = 2r^{3}\cdot (r\sqrt{5}\,dr\,d\theta)=2\sqrt{5}\,r^{4}\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral dupla:
  • A integral sobre S vira a integral sobre o retângulo 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi:
\iint_{S}\big(x^{2}z+y^{2}z\big)\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} 2\sqrt{5}\,r^{4}\,dr\,d\theta.
  • Integramos primeiro em r:
\int_{0}^{2} r^{4}\,dr=\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{2}=\frac{2^{5}}{5}=\frac{32}{5}.
  • Integramos em \theta (constantes saem da integral):
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
  • Reunindo constantes:
\iint_{S}\big(x^{2}z+y^{2}z\big)\,dS =2\sqrt{5}\cdot 2\pi \cdot \frac{32}{5} =4\pi\sqrt{5}\cdot\frac{32}{5}.

Passo 7

Comentário final breve e incentivo:
  • A integral resultou numa quantidade positiva (o integrando é não-negativo no cone). O cálculo usou parametrização natural em polares e a fórmula padrão de integrais de superfície para campos escalares.
  • Mandou bem por chegar até aqui — com esse passo a passo você consegue reproduzir esse tipo de integral em qualquer problema parecido.

Resposta

\displaystyle \frac{128\pi\sqrt{5}}{5}

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