onde S da parte do cone de equação z=2 \sqrt{x^{2}+y^{2}} que está abaixo do plano z=4.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}\left(x^{2}z+y^{2}z\right)\,dS,
onde S é a parte do cone de equação \,z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, que está abaixo do plano \,z=4.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A superfície S é o cone com vértice na origem e geratriz inclinada, dado por \,z=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,.
Estamos considerando apenas a parte desse cone que satisfaz \,z\le 4\,.
Ao igualar as superfícies para achar a interseção: \,4=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,. Disto segue que \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2 e, em coordenadas polares, o raio máximo é r=2.
A função a integrar é x^{2}z+y^{2}z, que pode ser simplificada como z(x^{2}+y^{2}).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (explicação didática):
Para integrar uma função sobre uma superfície parametrizada \mathbf{R}(u,v), usa-se a fórmula
onde \mathbf{R}_u e \mathbf{R}_v são as derivadas parciais de \mathbf{R} e \|\mathbf{R}_u\times\mathbf{R}_v\| é a área elemental da superfície em termos dos parâmetros u,v.
Aqui é natural usar coordenadas polares (r,\theta) porque a superfície é um cone circular simétrico em torno do eixo z. Assim parametrizamos a superfície pelo raio r e ângulo \theta.
Resumo do plano de ataque: parametrizar S por \mathbf{R}(r,\theta), calcular \mathbf{R}_r e \mathbf{R}_\theta, achar \|\mathbf{R}_r\times\mathbf{R}_\theta\| (que dá dS em termos de dr\,d\theta), substituir a função x^{2}z+y^{2}z na parametrização e calcular a integral dupla em r e \theta com 0\le r\le 2, 0\le\theta\le 2\pi.
Passo 3
Parametrização do cone em coordenadas polares:
Em coordenadas polares no plano xy: x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
A integral resultou numa quantidade positiva (o integrando é não-negativo no cone). O cálculo usou parametrização natural em polares e a fórmula padrão de integrais de superfície para campos escalares.
Mandou bem por chegar até aqui — com esse passo a passo você consegue reproduzir esse tipo de integral em qualquer problema parecido.