Primeira Questão (1,5 pt): Considere a superfície com parametrização dada por
Determine uma equação para o plano tangente à superfície no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da superfície
e pede: determinar uma equação para o plano tangente à superfície no ponto
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A superfície está dada por um mapa
. - O ponto de interesse é
. - O parâmetro
é não-negativo, então se devemos escolher .
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os valores
tais que
. Usar as componentes:
Como o enunciado impõe
, tomamos
Agora usar
:
Checar com
:
portanto
corresponde ao ponto pedido (coerente).
Passo 3
Explicar o método para obter o plano tangente: para uma superfície parametrizada por
, os vetores tangentes na direção de
e
são as derivadas parciais
e
. Esses dois vetores geram o plano tangente, e um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial
.
Escrever
explicitamente:
Calcular as derivadas parciais componente a componente:
Aqui cada componente foi diferenciada em relação ao parâmetro indicado: por exemplo,
,
, etc.
Passo 4
Avaliar
e
no ponto paramétrico
:
Estes dois vetores estão no plano tangente.
Passo 5
Calcular um vetor normal
pelo produto vetorial
. Usar a fórmula
Aplicando com
e
:
Calcular cada componente:
Podemos simplificar dividindo por
(qualquer múltiplo não nulo dá o mesmo plano):
Passo 6
Equação do plano tangente: para um vetor normal
e ponto
a equação é
Aqui
e
. Substituir:
Simplificar passo a passo:
Portanto a equação do plano tangente fica
Cheque rápido: o ponto
satisfaz a equação pois
.