Primeira Questão (1,5 pt): Considere a superfície com parametrização dada por
\begin{gathered} x=2 u^{2} \quad y=2 u v \quad z=v^{2} \\\ u \in \mathbb{R} \quad v \geq 0 \end{gathered}
Determine uma equação para o plano tangente à superfície no ponto (8,-4,1).

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da superfície
x=2u^{2},\qquad y=2uv,\qquad z=v^{2}, \qquad u\in\mathbb{R},\; v\ge 0,
e pede: determinar uma equação para o plano tangente à superfície no ponto (8,-4,1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A superfície está dada por um mapa \mathbf{r}(u,v)=(2u^{2},\,2uv,\,v^{2}).
  • O ponto de interesse é (x_{0},y_{0},z_{0})=(8,-4,1).
  • O parâmetro v é não-negativo, então se v^{2}=1 devemos escolher v=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os valores (u_{0},v_{0}) tais que \mathbf{r}(u_{0},v_{0})=(8,-4,1). Usar as componentes:
z=v^{2}=1 \Rightarrow v=\pm 1.
Como o enunciado impõe v\ge 0, tomamos
v_{0}=1.
Agora usar y=2uv:
y=2u v_{0}=-4 \Rightarrow 2u\cdot 1=-4 \Rightarrow u_{0}=-2.
Checar com x=2u^{2}:
x=2(-2)^{2}=2\cdot 4=8,
portanto (u_{0},v_{0})=(-2,1) corresponde ao ponto pedido (coerente).

Passo 3

Explicar o método para obter o plano tangente: para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), os vetores tangentes na direção de u e v são as derivadas parciais \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v}. Esses dois vetores geram o plano tangente, e um vetor normal ao plano é dado pelo produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}.
Escrever \mathbf{r}(u,v) explicitamente:
\mathbf{r}(u,v)=\bigl(2u^{2},\;2uv,\;v^{2}\bigr).
Calcular as derivadas parciais componente a componente:
\mathbf{r}_{u}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}=\bigl(4u,\;2v,\;0\bigr), \qquad \mathbf{r}_{v}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}=\bigl(0,\;2u,\;2v\bigr).
Aqui cada componente foi diferenciada em relação ao parâmetro indicado: por exemplo, \partial(2u^{2})/\partial u=4u, \partial(2uv)/\partial v=2u, etc.

Passo 4

Avaliar \mathbf{r}_{u} e \mathbf{r}_{v} no ponto paramétrico (u_{0},v_{0})=(-2,1):
\mathbf{r}_{u}(-2,1)=\bigl(4(-2),\;2\cdot 1,\;0\bigr)=\bigl(-8,\;2,\;0\bigr),
\mathbf{r}_{v}(-2,1)=\bigl(0,\;2(-2),\;2\cdot 1\bigr)=\bigl(0,\;-4,\;2\bigr).
Estes dois vetores estão no plano tangente.

Passo 5

Calcular um vetor normal \mathbf{n} pelo produto vetorial \mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}. Usar a fórmula
(a_{1},a_{2},a_{3})\times(b_{1},b_{2},b_{3}) =\bigl(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},\;a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},\;a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\bigr).
Aplicando com \mathbf{r}_{u}=(-8,2,0) e \mathbf{r}_{v}=(0,-4,2):
\mathbf{n}=\mathbf{r}_{u}\times\mathbf{r}_{v}= \bigl(2\cdot 2-0\cdot(-4),\;0\cdot 0-(-8)\cdot 2,\;(-8)\cdot(-4)-2\cdot 0\bigr).
Calcular cada componente:
\mathbf{n}=\bigl(4,\;16,\;32\bigr).
Podemos simplificar dividindo por 4 (qualquer múltiplo não nulo dá o mesmo plano):
\mathbf{n}=\bigl(1,\;4,\;8\bigr).

Passo 6

Equação do plano tangente: para um vetor normal \mathbf{n}=(A,B,C) e ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) a equação é
A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0.
Aqui A=1,\;B=4,\;C=8 e (x_{0},y_{0},z_{0})=(8,-4,1). Substituir:
1\bigl(x-8\bigr)+4\bigl(y-(-4)\bigr)+8\bigl(z-1\bigr)=0.
Simplificar passo a passo:
x-8+4(y+4)+8z-8=0,
x-8+4y+16+8z-8=0,
x+4y+8z+(-8+16-8)=0,
x+4y+8z+0=0.
Portanto a equação do plano tangente fica
x+4y+8z=0.
Cheque rápido: o ponto (8,-4,1) satisfaz a equação pois 8+4(-4)+8\cdot 1=8-16+8=0.

Resposta

x+4y+8z=0

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