r=2 b sin omega t i+b cos omega t j
(a) Find v, a, and the particle speed.
(b) What is the angle between v and a at time t=pi / 2 omega ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula é
r(t)=2bsin(omega t),i+bcos(omega t),j
Precisamos usar conceitos de cinemática vetorial: derivar vetores pra achar velocidade , acelerar pra achar aceleração e calcular magnitude pra achar a rapidez (speed). Depois, no instante , achar o ângulo entre e . A gente vai usar derivada de e e produto escalar pra isso.

Passo 2

Calcular a velocidade v(t) =ddtl[2bsin(omega t)r]i +ddtl[bcos(omega t)r]j =2bomegacos(omega t),i -;bomegasin(omega t),j .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
    Logo,

Passo 3

Agora a aceleração a(t) =-2bomega^2sin(omega t),i -;bomega^2cos(omega t),j .
Aplicando novamente a derivada em cada componente:
  • .
  • .
    Então

Passo 4

A rapidez (speed) é a magnitude de | v(t)|=raizl(2bomegacos(omega t)r)^2 +l(-bomegasin(omega t)r)^2 =bomegaraiz4cos^2(omega t)+sin^2(omega t) :

Passo 5

No instante :
  • , então , .
O produto escalar é
.
Como ambos os vetores não são nulos, o ângulo satisfaz , logo
.

Resposta

v(t)=2bomegacos(omega t),i-bomegasin(omega t),j,[6pt] a(t)=-2bomega^2sin(omega t),i-bomega^2cos(omega t),j,[6pt] speed=| v|=bomegaraiz4cos^2(omega t)+sin^2(omega t),[6pt] ângulo em t=tfracpi2omega ;=;90^circ â

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