(a)
é a equação que descreve o círculo de raio 1 centrado em
;
(b)
, é a equação que representa a reta passando pelo pólo e que faz um ângulo de
, no sentido anti-horário, com o eixo polar.
Equações da forma
e
podem ser combinadas para definir regiões, segmentos e raios.
(b)
Passo 1
O enunciado dá duas equações em coordenadas polares e afirma que equações do tipo
e
podem ser combinadas para definir regiões. As informações fornecidas são:
- (a)
. - (b)
.
O que se espera: identificar geometricamente o que cada uma descreve e explicar como combiná-las para obter pontos, segmentos e regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar a relação entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial para interpretar as equações de forma geométrica.
As fórmulas de conversão são:
Aqui:
-
é a distância do ponto ao polo (origem); -
é o ângulo medido a partir do eixo polar (o eixo positivo), sentido anti-horário.
Essas fórmulas permitem pegar uma equação em polares e transformá‑la numa equação em
para reconhecer a curva no plano.
Passo 3
Interpretando
.
Substituindo a relação
na equação
obtemos:
Elevando ao quadrado (passo a passo: quadrado preserva a igualdade porque ambos os lados são não negativos),
Essa é a equação padrão de um círculo de raio
centrado na origem
. Conclusão: a curva definida por
é o círculo de raio
com centro em
.
Observação prática para a prova: ao desenhar
basta traçar o círculo unitário; qualquer ponto desse círculo tem coordenadas polares
para algum
.
Passo 4
Interpretando
.
Usando
e
, para
temos:
Eliminando
(dividindo
por
se
) obtemos a razão
ou seja a equação cartesiana
Geometricamente, isso é uma reta passando pela origem com inclinação
. Em coordenadas polares, porém, a convenção usual é tomar
, então
representa o semi‑eixo (o raio) que parte do polo e vai no sentido do ângulo
— isto é, a meia‑reta com direção a
a partir do eixo polar.
Observação prática: se permitir
, a mesma reta inteira pode ser representada também por pontos com
que correspondem a
. Na prova, adote a convenção pedida; se nada for dito, costuma‑se usar
.
Passo 5
Intersecção e combinações — exemplos concretos (como usar na prova).
- Interseção de
e .
Tomando
e
diretamente em coordenadas polares obtemos o ponto cuja coordenada cartesiana é
Portanto a interseção é o ponto
, que está no círculo unitário e sobre a direção de
.
- Segmento radial.
A equação
com
descreve o segmento de reta que vai do polo até o ponto
. Em notação de conjunto:
- Anel (casca circular).
A condição
com
descreve a região entre dois círculos concêntricos de raios
e
(um anel).
- Setor circular.
As condições
e
descrevem o setor circular de raio
entre os ângulos
e
. A área desse setor é dada pela fórmula (útil na prova):
desde que
medidas em radianos.
Esses exemplos mostram como combinar igualdades e desigualdades em
e
para obter pontos isolados, segmentos, regiões e áreas.
Passo 6
Dicas e cuidados práticos para a prova (coisas que costumam pegar as pessoas).
- Sempre fixe a convenção de
(normalmente ). Se uma solução usar , explique essa escolha porque representa a mesma geometria com ângulo deslocado de . - Para desenhar rapidamente: desenhe o círculo
e a meia‑reta em (30°). Isso permite ver a interseção sem cálculo. - Para transformar para coordenadas cartesianas, use
e e elimine ou conforme necessário. - Para achar uma interseção entre
e simplesmente avalie . - Pratique com exemplos: por exemplo, a interseção de
e é porque , .
Passo 7
Resumo final — palavras de encorajamento.
Esses passos são exatamente o que se pede em provas: converter quando necessário, desenhar para visualizar e usar as fórmulas de conversão para obter coordenadas ou equações cartesianas. Respira fundo e treine 3 ou 4 exemplos parecidos (círculos, retas polares, setores) que isso vira automático.
Resposta
(a)
representa o círculo de raio
centrado em
, pois
.
(b) representa a meia‑reta que parte do polo fazendo ângulo
com o eixo polar (a reta cartesiana correspondente é
); permitindo
obtém‑se a reta inteira.
Combinações de condições do tipo ,
,
,
geram pontos, segmentos radiais, anéis e setores (por exemplo,
é um setor de área
).
(b)
Combinações de condições do tipo