(a) r=1 é a equação que descreve o círculo de raio 1 centrado em O;
(b) \theta=\pi / 6, é a equação que representa a reta passando pelo pólo e que faz um ângulo de \pi / 6, no sentido anti-horário, com o eixo polar.
Equações da forma r=r_{0} e \theta=\theta_{0} podem ser combinadas para definir regiões, segmentos e raios.

Passo 1

O enunciado dá duas equações em coordenadas polares e afirma que equações do tipo r=r_0 e \theta=\theta_0 podem ser combinadas para definir regiões. As informações fornecidas são:
  • (a) r=1.
  • (b) \theta=\pi/6.
    O que se espera: identificar geometricamente o que cada uma descreve e explicar como combiná-las para obter pontos, segmentos e regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar a relação entre coordenadas polares e cartesianas — isso é essencial para interpretar as equações de forma geométrica.
As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta,
y = r\sin\theta,
r = \sqrt{x^2 + y^2}.
Aqui:
  • \,r\ge 0 é a distância do ponto ao polo (origem);
  • \theta é o ângulo medido a partir do eixo polar (o eixo x positivo), sentido anti-horário.
Essas fórmulas permitem pegar uma equação em polares e transformá‑la numa equação em x,y para reconhecer a curva no plano.

Passo 3

Interpretando r=1.
Substituindo a relação r=\sqrt{x^2+y^2} na equação r=1 obtemos:
\sqrt{x^2+y^2}=1.
Elevando ao quadrado (passo a passo: quadrado preserva a igualdade porque ambos os lados são não negativos),
x^2+y^2=1.
Essa é a equação padrão de um círculo de raio 1 centrado na origem O. Conclusão: a curva definida por r=1 é o círculo de raio 1 com centro em O.
Observação prática para a prova: ao desenhar r=1 basta traçar o círculo unitário; qualquer ponto desse círculo tem coordenadas polares (r,\theta)=(1,\theta) para algum \theta.

Passo 4

Interpretando \theta=\pi/6.
Usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, para \theta=\pi/6 temos:
x = r\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=r\cdot\frac{\sqrt{3}}{2},
y = r\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=r\cdot\frac{1}{2}.
Eliminando r (dividindo y por x se x\neq0) obtemos a razão
\frac{y}{x}=\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}},
ou seja a equação cartesiana
y=\frac{1}{\sqrt{3}}\,x.
Geometricamente, isso é uma reta passando pela origem com inclinação \tan(\pi/6)=1/\sqrt{3}. Em coordenadas polares, porém, a convenção usual é tomar r\ge0, então \theta=\pi/6 representa o semi‑eixo (o raio) que parte do polo e vai no sentido do ângulo \pi/6 — isto é, a meia‑reta com direção a 30^\circ a partir do eixo polar.
Observação prática: se permitir r<0, a mesma reta inteira pode ser representada também por pontos com (r<0,\theta=\pi/6) que correspondem a (|r|,\theta=\pi/6+\pi). Na prova, adote a convenção pedida; se nada for dito, costuma‑se usar r\ge0.

Passo 5

Intersecção e combinações — exemplos concretos (como usar na prova).
  1. Interseção de r=1 e \theta=\pi/6.
Tomando r=1 e \theta=\pi/6 diretamente em coordenadas polares obtemos o ponto cuja coordenada cartesiana é
x = 1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad y = 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto a interseção é o ponto \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right), que está no círculo unitário e sobre a direção de \pi/6.
  1. Segmento radial.
A equação \theta=\pi/6 com 0\le r\le 1 descreve o segmento de reta que vai do polo até o ponto \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right). Em notação de conjunto:
\{(r,\theta)\mid \theta=\tfrac{\pi}{6},\\\ 0\le r\le 1\}.
  1. Anel (casca circular).
A condição a\le r\le b com 0<a<b descreve a região entre dois círculos concêntricos de raios a e b (um anel).
  1. Setor circular.
As condições 0\le r\le R e \alpha\le\theta\le\beta descrevem o setor circular de raio R entre os ângulos \alpha e \beta. A área desse setor é dada pela fórmula (útil na prova):
\text{Área do setor}=\frac{1}{2}R^2(\beta-\alpha),Á
desde que \beta>\alpha medidas em radianos.
Esses exemplos mostram como combinar igualdades e desigualdades em r e \theta para obter pontos isolados, segmentos, regiões e áreas.

Passo 6

Dicas e cuidados práticos para a prova (coisas que costumam pegar as pessoas).
  • Sempre fixe a convenção de r (normalmente r\ge0). Se uma solução usar r<0, explique essa escolha porque representa a mesma geometria com ângulo deslocado de \pi.
  • Para desenhar rapidamente: desenhe o círculo r=1 e a meia‑reta em \theta=\pi/6 (30°). Isso permite ver a interseção sem cálculo.
  • Para transformar para coordenadas cartesianas, use x=r\cos\theta e y=r\sin\theta e elimine r ou \theta conforme necessário.
  • Para achar uma interseção entre r=r_0 e \theta=\theta_0 simplesmente avalie (x,y)=(r_0\cos\theta_0,\,r_0\sin\theta_0).
  • Pratique com exemplos: por exemplo, a interseção de r=2 e \theta=\pi/3 é (1, \sqrt{3}) porque \cos(\pi/3)=1/2, \sin(\pi/3)=\sqrt{3}/2.

Passo 7

Resumo final — palavras de encorajamento.
Esses passos são exatamente o que se pede em provas: converter quando necessário, desenhar para visualizar e usar as fórmulas de conversão para obter coordenadas ou equações cartesianas. Respira fundo e treine 3 ou 4 exemplos parecidos (círculos, retas polares, setores) que isso vira automático.

Resposta

(a) r=1 representa o círculo de raio 1 centrado em O, pois \sqrt{x^2+y^2}=1\Rightarrow x^2+y^2=1.
(b) \theta=\pi/6 representa a meia‑reta que parte do polo fazendo ângulo \pi/6 com o eixo polar (a reta cartesiana correspondente é y=\tfrac{1}{\sqrt{3}}x); permitindo r<0 obtém‑se a reta inteira.
Combinações de condições do tipo r=r_0, \theta=\theta_0, a\le r\le b, \alpha\le\theta\le\beta geram pontos, segmentos radiais, anéis e setores (por exemplo, 0\le r\le R,\\ \alpha\le\theta\le\beta é um setor de área \tfrac{1}{2}R^2(\beta-\alpha)).

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