Considere o sistema LIT representado por: h[n]=2^{n} u(-n). Responda: (1,0)
É causal? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o impulso do sistema LIT:
h[n]=2^{n}\,u(-n).
A pergunta é: o sistema é causal? É necessário justificar a resposta.

Passo 2

Definição prática (essencial) de causalidade para sistemas LIT discretos:
um sistema LIT é causal se, e somente se, o seu impulso h[n] for zero para todos os índices negativos, isto é, se
h[n]=0\quad\text{para todo}\quad n<0.
Explicação rápida do porquê: a saída de um sistema LIT é dada pela convolução
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k]\,x[n-k].
Se existir algum k<0 tal que h[k]\neq0, então o termo h[k]x[n-k] envolve x[n-k]=x[n+|k|], que é um valor de entrada no instante futuro ( n+|k|), ou seja, a saída em n depende de entradas futuras — violando causalidade.

Passo 3

Interpretar o termo u(-n)\). A função degrau unitário \(u[n]\) é definida por \[u[n]=\begin{cases}1, & n\ge 0,\\[4pt]0, & n<0.\end{cases}
Logo,
u(-n)=\begin{cases}1, & -n\ge 0 \Rightarrow n\le 0,\\[4pt]0, & n>0.\end{cases}
Portanto u(-n)=1\] para \(n\le 0 e u(-n)=0 para n>0.]

Passo 4

Avaliar h[n] por intervalos de n:
  • Para n>0: tem-se u(-n)=0, então
h[n]=2^{n}\,u(-n)=0.
  • Para n=0: tem-se u(0)=1, então
h[0]=2^{0}\cdot 1 = 1.
  • Para n<0: tem-se u(-n)=1, então
h[n]=2^{n}\quad\text{(não nulo em geral)}.ã
Por exemplo,
h[-1]=2^{-1}=\tfrac{1}{2}\neq 0.
Assim há valores de n<0 tais que h[n]\neq0.

Passo 5

Aplicando a condição de causalidade do Passo 2: como existem índices negativos ( n<0) com h[n]\neq0 (por exemplo h[-1]=1/2), o sistema depende de entradas futuras através da convolução e, portanto, NÃO é causal.

Resposta

Não. O sistema não é causal.

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