Esboce o diagrama em blocos do sistema expresso pela equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para esboçar o diagrama em blocos do sistema. Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A entrada do sistema é
e a saída é . - O lado direito tem ganho
multiplicando .
O que se quer: um diagrama em blocos que represente esse sistema (ou seja, uma implementação com blocos elementares como ganhos, somadores e integradores/elementos de primeira ordem).
Passo 2
Vamos obter a função de transferência porque ela nos dá uma forma direta para construir o diagrama em blocos. Aplicando transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas (isso é o que se usa para obter a função de transferência):
Agrupando
:
Daí a função de transferência do sistema é
Observação útil: o denominador se fatoriza como
, então
Explicação rápida: a função de transferência
é a representação no domínio de Laplace que relaciona a saída e a entrada para condições iniciais nulas;
é a variável complexa da transformada de Laplace.
Passo 3
Escolha do método de realização para o diagrama em blocos:
- Método adotado: forma canônica controlável (usar integradores
como blocos básicos). Por que? Porque em provas costuma-se pedir um diagrama com integradores e realimentações simples; além disso integradores são blocos fundamentais fáceis de desenhar à mão sem calculadora. - Vamos converter a equação diferencial em um sistema de equações de estado simples, escolhendo variáveis de estado relacionadas às derivadas de
.
Defina as variáveis de estado
Então
Da equação original isolamos
:
Em termos das variáveis de estado:
Resumo das equações de estado:
A saída é
Explicação: cada equação do tipo
pode ser implementada por um somador que gera
e um integrador
que integra
para dar
.
Passo 4
Construindo o diagrama em blocos a partir das equações de estado (descrição passo a passo, de modo que dê para desenhar facilmente):
- Somador principal (chamemos de S) calcula o sinal
Ou seja, no somador entram:
-
vezes a entrada (sinal positivo), -
vezes (feedback com ganho ), -
vezes (feedback com ganho ).
- O sinal
entra em um integrador . A saída desse integrador é , pois
- Em cascata após o bloco
de colocamos outro integrador para obter , pois
- A saída do segundo integrador é
, que é exatamente . Esse é também alimentado de volta ao somador S com ganho . O (saída do primeiro integrador) é alimentado de volta ao somador S com ganho . A entrada original passa por um ganho até o somador S.
Componentes necessários no desenho:
- Um somador S com três entradas (ganhos
, , aplicados aos sinais correspondentes); - Dois integradores em cascata, cada um representado por
; - Linhas de realimentação de
e para o somador com os respectivos ganhos negativos; - Saída
.
Passo 5
Escrevendo de forma compacta o fluxo de sinais (isto é, uma instrução clara para desenhar):
- Do lado esquerdo: entrada
passa por ganho e vai para o somador S. - Soma as contribuições:
, , → saída do somador = . -
→ integrador → saída . -
→ integrador → saída . - Realimentações:
com ganho e com ganho voltam para o somador.
Dica prática para desenhar à mão: coloque o somador à esquerda superior, dois blocos
à direita em cascata (vertical ou horizontal), e trace as setas de realimentação regressando do topo e do meio dos integradores até o somador com os ganhos indicados. Etiquete a saída do segundo integrador como
.
Passo 6
Observação de alternativa: como
, também é possível representar o sistema como um ganho
seguido de duas etapas idênticas de primeira ordem
em cascata (cada
pode ser implementada por um integrador
em bloco com realimentação de ganho
apropriado). Esta forma é útil para entender a pólos repetidos em
, mas a implementação canônica via variáveis de estado e dois integradores com realimentações (descrita acima) é a mais direta para um diagrama em blocos de prova.
Resposta
Diagrama em blocos (forma canônica controlável): um somador S que recebe
,
e
; a saída do somador entra em um integrador
cuja saída é
; essa saída entra em outro integrador
cuja saída é
. Realimentar
ao somador com ganho
e realimentar
ao somador com ganho
.