Esboce o diagrama em blocos do sistema expresso pela equação diferencial (1,0)
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+2 \frac{d y(t)}{d t}+y(t)=5 x(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d^{2} y(t)}{d t^{2}}+2 \frac{d y(t)}{d t}+y(t)=5 x(t)
e pede para esboçar o diagrama em blocos do sistema. Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A entrada do sistema é x(t) e a saída é y(t).
  • O lado direito tem ganho 5 multiplicando x(t).
O que se quer: um diagrama em blocos que represente esse sistema (ou seja, uma implementação com blocos elementares como ganhos, somadores e integradores/elementos de primeira ordem).

Passo 2

Vamos obter a função de transferência porque ela nos dá uma forma direta para construir o diagrama em blocos. Aplicando transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas (isso é o que se usa para obter a função de transferência):
s^{2}Y(s)+2sY(s)+Y(s)=5X(s).
Agrupando Y(s):
\bigl(s^{2}+2s+1\bigr)Y(s)=5X(s).
Daí a função de transferência do sistema é
G(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{5}{s^{2}+2s+1}.
Observação útil: o denominador se fatoriza como (s+1)^{2}, então
G(s)=\frac{5}{(s+1)^{2}}.
Explicação rápida: a função de transferência G(s) é a representação no domínio de Laplace que relaciona a saída e a entrada para condições iniciais nulas; s é a variável complexa da transformada de Laplace.

Passo 3

Escolha do método de realização para o diagrama em blocos:
  • Método adotado: forma canônica controlável (usar integradores 1/s como blocos básicos). Por que? Porque em provas costuma-se pedir um diagrama com integradores e realimentações simples; além disso integradores são blocos fundamentais fáceis de desenhar à mão sem calculadora.
  • Vamos converter a equação diferencial em um sistema de equações de estado simples, escolhendo variáveis de estado relacionadas às derivadas de y.
Defina as variáveis de estado
x_{1}(t)=y(t),\qquad x_{2}(t)=\dot y(t).
Então
\dot x_{1}(t)=x_{2}(t).
Da equação original isolamos \ddot y(t):
\ddot y(t)=-2\dot y(t)-y(t)+5x(t).
Em termos das variáveis de estado:
\dot x_{2}(t)=-2x_{2}(t)-1\cdot x_{1}(t)+5x(t).
Resumo das equações de estado:
\dot x_{1}=x_{2}, \qquad \dot x_{2}=-2x_{2}-x_{1}+5x.
A saída é
y=x_{1}.
Explicação: cada equação do tipo \dot z = \text{(algo)} pode ser implementada por um somador que gera \text{(algo)} e um integrador 1/s que integra \dot z para dar z.

Passo 4

Construindo o diagrama em blocos a partir das equações de estado (descrição passo a passo, de modo que dê para desenhar facilmente):
  1. Somador principal (chamemos de S) calcula o sinal
w(t)=-2x_{2}(t)-1\cdot x_{1}(t)+5x(t).
Ou seja, no somador entram:
  • 5 vezes a entrada x(t) (sinal positivo),
  • -2 vezes x_{2}(t) (feedback com ganho -2),
  • -1 vezes x_{1}(t) (feedback com ganho -1).
  1. O sinal w(t) entra em um integrador 1/s. A saída desse integrador é x_{2}(t), pois
x_{2}(t)=\int w(t)\,dt.
  1. Em cascata após o bloco 1/s de x_{2} colocamos outro integrador 1/s para obter x_{1}(t), pois
x_{1}(t)=\int x_{2}(t)\,dt.
  1. A saída do segundo integrador é x_{1}(t), que é exatamente y(t). Esse x_{1} é também alimentado de volta ao somador S com ganho -1. O x_{2} (saída do primeiro integrador) é alimentado de volta ao somador S com ganho -2. A entrada original x(t) passa por um ganho 5 até o somador S.
Componentes necessários no desenho:
  • Um somador S com três entradas (ganhos 5, -2, -1 aplicados aos sinais correspondentes);
  • Dois integradores em cascata, cada um representado por 1/s;
  • Linhas de realimentação de x_{2} e x_{1} para o somador com os respectivos ganhos negativos;
  • Saída y(t)=x_{1}(t).

Passo 5

Escrevendo de forma compacta o fluxo de sinais (isto é, uma instrução clara para desenhar):
  • Do lado esquerdo: entrada x(t) passa por ganho 5 e vai para o somador S.
  • Soma as contribuições: +5x(t), -2x_{2}(t), -1x_{1}(t) → saída do somador = w(t).
  • w(t) → integrador 1/s → saída x_{2}(t).
  • x_{2}(t) → integrador 1/s → saída x_{1}(t)=y(t).
  • Realimentações: x_{2}(t) com ganho -2 e x_{1}(t) com ganho -1 voltam para o somador.
Dica prática para desenhar à mão: coloque o somador à esquerda superior, dois blocos 1/s à direita em cascata (vertical ou horizontal), e trace as setas de realimentação regressando do topo e do meio dos integradores até o somador com os ganhos indicados. Etiquete a saída do segundo integrador como y(t).

Passo 6

Observação de alternativa: como G(s)=\dfrac{5}{(s+1)^{2}}, também é possível representar o sistema como um ganho 5 seguido de duas etapas idênticas de primeira ordem 1/(s+1) em cascata (cada 1/(s+1) pode ser implementada por um integrador 1/s em bloco com realimentação de ganho +1 apropriado). Esta forma é útil para entender a pólos repetidos em s=-1, mas a implementação canônica via variáveis de estado e dois integradores com realimentações (descrita acima) é a mais direta para um diagrama em blocos de prova.

Resposta

Diagrama em blocos (forma canônica controlável): um somador S que recebe +5x(t), -2x_{2}(t) e -1x_{1}(t); a saída do somador entra em um integrador 1/s cuja saída é x_{2}(t); essa saída entra em outro integrador 1/s cuja saída é x_{1}(t)=y(t). Realimentar x_{2}(t) ao somador com ganho -2 e realimentar x_{1}(t) ao somador com ganho -1.

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